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例 1 计算：(1)$\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}$； (2)$\dfrac{\sqrt{0.76}}{\sqrt{0.19}}$.
【思路导析】(1)$\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$，$\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}$，$\sqrt{16}=4$；
(2)$\dfrac{\sqrt{0.76}}{\sqrt{0.19}}=\sqrt{\dfrac{0.76}{0.19}}$，$\sqrt{\dfrac{0.76}{0.19}}=\sqrt{4}$，$\sqrt{4}=2$.
【请你解答】
【思路导析】(1)$\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}×\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}$，$\dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}=\sqrt{16}$，$\sqrt{16}=4$；
(2)$\dfrac{\sqrt{0.76}}{\sqrt{0.19}}=\sqrt{\dfrac{0.76}{0.19}}$，$\sqrt{\dfrac{0.76}{0.19}}=\sqrt{4}$，$\sqrt{4}=2$.
【请你解答】
答案
(1)
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}} &= \dfrac{1}{2} × \dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \\&= \dfrac{1}{2} × \sqrt{\dfrac{48}{3}} \\&= \dfrac{1}{2} × \sqrt{16} \\&= \dfrac{1}{2} × 4 \\&= 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{0.76}}{\sqrt{0.19}} &= \sqrt{\dfrac{0.76}{0.19}} \\&= \sqrt{4} \\&= 2\end{aligned}$
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{48}}{2\sqrt{3}} &= \dfrac{1}{2} × \dfrac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} \\&= \dfrac{1}{2} × \sqrt{\dfrac{48}{3}} \\&= \dfrac{1}{2} × \sqrt{16} \\&= \dfrac{1}{2} × 4 \\&= 2\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}\dfrac{\sqrt{0.76}}{\sqrt{0.19}} &= \sqrt{\dfrac{0.76}{0.19}} \\&= \sqrt{4} \\&= 2\end{aligned}$
例 2 下列各式，是最简二次根式的是()
A.$\sqrt{12y}$
B.$\sqrt{a^{2}b}$
C.$\sqrt{0.5}$
D.$\sqrt{x^{2}+1}$
【思路导析】根据最简二次根式的定义进行判别.
【请你解答】.
A.$\sqrt{12y}$
B.$\sqrt{a^{2}b}$
C.$\sqrt{0.5}$
D.$\sqrt{x^{2}+1}$
【思路导析】根据最简二次根式的定义进行判别.
【请你解答】.
答案
D
解析
最简二次根式需满足以下两个条件：1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2. 被开方数的因数是整数，因式是整式，且不含分母。
A. $\sqrt{12y}$ 中 $12 = 4 × 3$，4为能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
B. $\sqrt{a^{2}b}$ 中 $a^{2}$ 为能开得尽方的因式，故不是最简二次根式；
C. $\sqrt{0.5}$ 的被开方数为分数，可化为 $\sqrt{\frac{1}{2}}$，不满足最简二次根式条件；
D. $\sqrt{x^{2}+1}$ 的被开方数无能开得尽方的因数或因式，且为整式，满足最简二次根式条件。
A. $\sqrt{12y}$ 中 $12 = 4 × 3$，4为能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
B. $\sqrt{a^{2}b}$ 中 $a^{2}$ 为能开得尽方的因式，故不是最简二次根式；
C. $\sqrt{0.5}$ 的被开方数为分数，可化为 $\sqrt{\frac{1}{2}}$，不满足最简二次根式条件；
D. $\sqrt{x^{2}+1}$ 的被开方数无能开得尽方的因数或因式，且为整式，满足最简二次根式条件。
例 3 化简：
(1)$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$；(2)$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$；(3)$\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$；(4)$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$.
【思路导析】(1)(2)中，分子、分母同时乘以$\sqrt{3}$；(3)分子、分母同时乘以$\sqrt{2}$；(4)分子、分母同时乘以$\sqrt{2}+1$.
【请你解答】
(1)$\dfrac{2}{\sqrt{3}}$；(2)$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$；(3)$\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}$；(4)$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$.
【思路导析】(1)(2)中，分子、分母同时乘以$\sqrt{3}$；(3)分子、分母同时乘以$\sqrt{2}$；(4)分子、分母同时乘以$\sqrt{2}+1$.
【请你解答】
答案
(1)
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2)
$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$。
(3)
$\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{2}-1)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
(4)
$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$。
$\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。
(2)
$\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$。
(3)
$\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{(\sqrt{2}-1)×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}=1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
(4)
$\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\dfrac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$。
例 4 计算：
(1)$\sqrt{2\dfrac{1}{2}}÷3\sqrt{28}×(-5\sqrt{2\dfrac{2}{7}})$；
(2)$\dfrac{5}{b}\sqrt{ab^{3}}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})÷\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{b}{a}}(a＞0,b＞0)$.
【探究点拨】先将不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式，再将除法变成乘法，然后再计算.
【规范解答】(1)$\sqrt{2\dfrac{1}{2}}÷3\sqrt{28}×(-5\sqrt{2\dfrac{2}{7}})$
$=-\dfrac{\sqrt{10}}{2}×\dfrac{1}{6\sqrt{7}}×\dfrac{20}{\sqrt{7}}$
（化简二次根式，除法变乘法）
$=-\dfrac{5\sqrt{10}}{21}$； （最后结果必须是最简形式）
(2)$\dfrac{5}{b}\sqrt{ab^{3}}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})÷\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=-\dfrac{5}{b}· b\sqrt{ab}·\dfrac{2}{5}\sqrt{ab}·\dfrac{3a}{\sqrt{ab}}$
（负号前移，除法变乘法）
$=-5×\dfrac{2}{5}×3a\sqrt{ab}·\sqrt{ab}·\dfrac{1}{\sqrt{ab}}$
$=-6a\sqrt{ab}$.
(1)$\sqrt{2\dfrac{1}{2}}÷3\sqrt{28}×(-5\sqrt{2\dfrac{2}{7}})$；
(2)$\dfrac{5}{b}\sqrt{ab^{3}}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})÷\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{b}{a}}(a＞0,b＞0)$.
【探究点拨】先将不是最简二次根式的二次根式化成最简二次根式，再将除法变成乘法，然后再计算.
【规范解答】(1)$\sqrt{2\dfrac{1}{2}}÷3\sqrt{28}×(-5\sqrt{2\dfrac{2}{7}})$
$=-\dfrac{\sqrt{10}}{2}×\dfrac{1}{6\sqrt{7}}×\dfrac{20}{\sqrt{7}}$
（化简二次根式，除法变乘法）
$=-\dfrac{5\sqrt{10}}{21}$； （最后结果必须是最简形式）
(2)$\dfrac{5}{b}\sqrt{ab^{3}}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})÷\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=-\dfrac{5}{b}· b\sqrt{ab}·\dfrac{2}{5}\sqrt{ab}·\dfrac{3a}{\sqrt{ab}}$
（负号前移，除法变乘法）
$=-5×\dfrac{2}{5}×3a\sqrt{ab}·\sqrt{ab}·\dfrac{1}{\sqrt{ab}}$
$=-6a\sqrt{ab}$.
答案
(1) $\sqrt{2\dfrac{1}{2}}÷3\sqrt{28}×(-5\sqrt{2\dfrac{2}{7}})$
$=\sqrt{\dfrac{5}{2}}÷(3×2\sqrt{7})×(-5\sqrt{\dfrac{16}{7}})$
$=\dfrac{\sqrt{10}}{2}÷6\sqrt{7}×(-5×\dfrac{4}{\sqrt{7}})$
$=\dfrac{\sqrt{10}}{2}×\dfrac{1}{6\sqrt{7}}×(-\dfrac{20}{\sqrt{7}})$
$=-\dfrac{\sqrt{10}×20}{2×6×7}$
$=-\dfrac{5\sqrt{10}}{21}$
(2) $\dfrac{5}{b}\sqrt{ab^{3}}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})÷\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=\dfrac{5}{b}·b\sqrt{ab}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})·3\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
$=5\sqrt{ab}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})·\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$=-2ab·\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$=-6a\sqrt{ab}$
$=\sqrt{\dfrac{5}{2}}÷(3×2\sqrt{7})×(-5\sqrt{\dfrac{16}{7}})$
$=\dfrac{\sqrt{10}}{2}÷6\sqrt{7}×(-5×\dfrac{4}{\sqrt{7}})$
$=\dfrac{\sqrt{10}}{2}×\dfrac{1}{6\sqrt{7}}×(-\dfrac{20}{\sqrt{7}})$
$=-\dfrac{\sqrt{10}×20}{2×6×7}$
$=-\dfrac{5\sqrt{10}}{21}$
(2) $\dfrac{5}{b}\sqrt{ab^{3}}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})÷\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{b}{a}}$
$=\dfrac{5}{b}·b\sqrt{ab}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})·3\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
$=5\sqrt{ab}·(-\dfrac{2}{5}\sqrt{ab})·\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$=-2ab·\dfrac{3\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$
$=-6a\sqrt{ab}$
