1. 下列式子为最简二次根式的是()

A.$\sqrt{5}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{a^{2}}$
D.$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$

A

最简二次根式需满足两个条件：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式。
选项A：$\sqrt{5}$，$5$是质数，没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义。
选项B：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，$12$含有能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式。
选项C：$\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert$，被开方数是完全平方式，不是最简二次根式。
选项D：$\sqrt{\dfrac{1}{a}}$，被开方数的因数是分数，不是整式，不是最简二次根式。

2. 下列运算正确的是()

A.$\sqrt{50}÷\sqrt{5}=10$
B.$\sqrt{10}÷2\sqrt{5}=2\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=3+4=7$
D.$\sqrt{27}÷\sqrt{3}=3$

D

A. 根据二次根式的除法法则，$\sqrt{50} ÷ \sqrt{5} = \sqrt{\frac{50}{5}} = \sqrt{10} ≠ 10$，故A错误；
B. $\sqrt{10} ÷ 2\sqrt{5} = \frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{2}}{2} × \sqrt{5}÷\sqrt{5}= \frac{\sqrt{2}}{2} ≠ 2\sqrt{2}$（或者计算为$\sqrt{10} ÷ 2\sqrt{5}=\sqrt{2}÷2=\frac{\sqrt{2}}{2} ≠ 2\sqrt{2}$），故B错误；
C. $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 ≠ 7$，故C错误；
D. $\sqrt{27} ÷ \sqrt{3} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$，故D正确。

1. 下列各式：①$\sqrt{0.3}$；②$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$；③$\sqrt{a^{2}+1}$；④$\sqrt{2a^{3}}$；⑤$\sqrt{4x}$；⑥$\sqrt{x^{2}+2xy+y^{2}}$；⑦$\sqrt{\dfrac{a}{2}}$，其中是最简二次根式的是(填序号).

②③

最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
①$\sqrt{0.3}$，被开方数是小数即分数，可化为$\sqrt{\frac{3}{10}}$，含分母，不是最简二次根式。
②$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，被开方数不含分母且没有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
③$\sqrt{a^{2}+1}$，同理，被开方数不含分母且没有能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式。
④$\sqrt{2a^{3}}$，可化为$\sqrt{a^{2}×2a}=|a|\sqrt{2a}$，被开方数含能开得尽方的因数$a^{2}$，不是最简二次根式。
⑤$\sqrt{4x}$，可化为$\sqrt{4× x}=2\sqrt{x}$，被开方数含能开得尽方的因数$4$，不是最简二次根式。
⑥$\sqrt{x^{2}+2xy+y^{2}}$，可化为$\sqrt{(x + y)^{2}}=|x + y|$，被开方数能开得尽方，不是最简二次根式。
⑦$\sqrt{\frac{a}{2}}$，被开方数含分母，不是最简二次根式。

2. 已知$x=3$，$y=4$，$z=5$，那么$\sqrt{yz}÷\sqrt{xy}$的值是.

$\frac{\sqrt{15}}{3}$

$\sqrt{yz}÷\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{yz}{xy}}=\sqrt{\frac{z}{x}}$，当$x=3$，$z=5$时，原式$=\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$

3. 等式$\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}$成立的$x$的取值范围在数轴上可表示为()

A.
B.
C.
D.

B

要使等式$\dfrac{\sqrt{x-3}}{\sqrt{x+1}}=\sqrt{\dfrac{x-3}{x+1}}$成立，需要满足以下条件：
$x-3≥0$，即$x≥3$，
$x+1＞0$，即$x＞-1$，
$\dfrac{x-3}{x+1}≥0$。
由于$x≥3$已经保证了$x-3≥0$且$x+1＞0$，所以只需要考虑$x≥3$。
综合以上条件，得到$x$的取值范围是$x≥3$。
在数轴上表示，即为$[3,+∞)$，对应选项为B。

4. 计算$4\sqrt{6x^{3}}÷2\sqrt{\dfrac{x}{3}}$的结果是()

A.$2\sqrt{2}x$
B.$\dfrac{3}{2}x$
C.$6\sqrt{2}x$
D.$\dfrac{2}{3}\sqrt{2}x$

C

$4\sqrt{6x^{3}}÷2\sqrt{\dfrac{x}{3}}=(4÷2)\sqrt{6x^{3}÷\dfrac{x}{3}}=2\sqrt{6x^{3}×\dfrac{3}{x}}=2\sqrt{18x^{2}}=2×3\sqrt{2}x=6\sqrt{2}x$

5. 若$(a+\sqrt{2})^{2}$与$|b+1|$互为相反数，则$\dfrac{1}{b-a}$的值为()

A.$\sqrt{2}$
B.$\sqrt{2}+1$
C.$\sqrt{2}-1$
D.$1-\sqrt{2}$

B

因为$(a + \sqrt{2})^2$与$|b + 1|$互为相反数，所以$(a + \sqrt{2})^2 + |b + 1| = 0$。由于平方数和绝对值都具有非负性，所以$a + \sqrt{2} = 0$，$b + 1 = 0$，解得$a = -\sqrt{2}$，$b = -1$。则$b - a = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$，所以$\dfrac{1}{b - a} = \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1} = \sqrt{2} + 1$。

6. 如果$ab＞0$，$a+b＜0$，那么下面各式：①$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；②$\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{\dfrac{b}{a}}=1$；③$\sqrt{ab}÷\sqrt{\dfrac{a}{b}}=-b$，其中正确的是()

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

B

由$ab ＞ 0$，得$a$，$b$同号，
又因为$a + b ＜ 0$，所以$a ＜ 0$，$b ＜ 0$。
对于①：
根据二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，$\frac{a}{b}＞0$，但$a＜0$，$b＜0$，$\sqrt{a}$，$\sqrt{b}$无意义，所以①不成立。
对于②：
$\sqrt{\frac{a}{b}}·\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{\frac{a}{b}×\frac{b}{a}}=\sqrt{1 = 1}$，该式成立。
对于③：
$\sqrt{ab}÷\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{ab÷\frac{a}{b}}=\sqrt{ab×\frac{b}{a}}=\sqrt{b^{2}}=\vert b\vert$，
因为$b＜0$，所以$\vert b\vert=-b$，该式成立。