7. 化简：
(1)$\dfrac{\sqrt{12}}{2}$；
(2)$\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}$；
(3)$\dfrac{5n}{3\sqrt{n}}$；
(4)$\dfrac{-\sqrt{45y^{2}}}{3\sqrt{5y}}$.

(1) $\dfrac{\sqrt{12}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$
(2) $\dfrac{\sqrt{2}}{3\sqrt{40}}=\dfrac{\sqrt{2}}{3×2\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}}{6\sqrt{10}}=\dfrac{\sqrt{2}×\sqrt{10}}{6×10}=\dfrac{\sqrt{20}}{60}=\dfrac{2\sqrt{5}}{60}=\dfrac{\sqrt{5}}{30}$
(3) $\dfrac{5n}{3\sqrt{n}}=\dfrac{5n\sqrt{n}}{3n}=\dfrac{5\sqrt{n}}{3}$
(4) $\dfrac{-\sqrt{45y^{2}}}{3\sqrt{5y}}=-\dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{45y^{2}}{5y}}=-\dfrac{1}{3}\sqrt{9y}=-\dfrac{1}{3}×3\sqrt{y}=-\sqrt{y}$

8. 计算：
(1)$\sqrt{12}÷\sqrt{27}×\sqrt{18}$；
(2)$\sqrt{1\dfrac{2}{3}}÷\sqrt{2\dfrac{1}{3}}×\sqrt{1\dfrac{2}{5}}$；
(3)$4\sqrt{8a^{2}}÷2\sqrt{\dfrac{a}{2}}·(-\dfrac{2}{3}\sqrt{\dfrac{2}{a}})$.

(1)原式$=\sqrt{12÷27×18}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$
(2)原式$=\sqrt{\frac{5}{3}÷\frac{7}{3}×\frac{7}{5}}=\sqrt{1}=1$
(3)原式$=4÷2×(-\frac{2}{3})×\sqrt{8a^{2}÷\frac{a}{2}×\frac{2}{a}}=-\frac{4}{3}×\sqrt{32}=-\frac{16\sqrt{2}}{3}$

9. 长方形的长为$3\sqrt{10}$，面积为$30\sqrt{6}$，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形，求该正方形的面积.

解：长方形的宽为：$30\sqrt{6} ÷ 3\sqrt{10} = \frac{30\sqrt{6}}{3\sqrt{10}} = 10\sqrt{\frac{6}{10}} = 10\sqrt{\frac{3}{5}} = 10×\frac{\sqrt{15}}{5} = 2\sqrt{15}$
比较长和宽：$3\sqrt{10} = \sqrt{90}$，$2\sqrt{15} = \sqrt{60}$，因为$\sqrt{90} ＞ \sqrt{60}$，所以长方形的宽为$2\sqrt{15}$。
面积最大的正方形的边长等于长方形的宽，即$2\sqrt{15}$。
正方形的面积为：$(2\sqrt{15})^2 = 4×15 = 60$
答：该正方形的面积为$60$。

10. 已知$\sqrt{\dfrac{9-x}{x-6}}=\dfrac{\sqrt{9-x}}{\sqrt{x-6}}$，且$x$为偶数，求$(1+x)·\sqrt{\dfrac{x^{2}-5x+4}{x^{2}-1}}$的值.

6

由二次根式除法法则，得：
$\begin{cases}9 - x ≥ 0 \\x - 6 ＞ 0\end{cases}$
解得$6 ＜ x ≤ 9$。
∵$x$为偶数，∴$x = 8$。
化简原式：
$(1 + x)·\sqrt{\frac{x^2 - 5x + 4}{x^2 - 1}} = (x + 1)·\sqrt{\frac{(x - 1)(x - 4)}{(x - 1)(x + 1)}} = (x + 1)·\sqrt{\frac{x - 4}{x + 1}}$
$= \sqrt{(x + 1)^2·\frac{x - 4}{x + 1}} = \sqrt{(x + 1)(x - 4)}$
将$x = 8$代入，得：
$\sqrt{(8 + 1)(8 - 4)} = \sqrt{9×4} = \sqrt{36} = 6$