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例 1 下列二次根式，哪些二次根式能与$\sqrt{6}$合并？
$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$，$\sqrt{27}$，$\sqrt{24}$，$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$。
【思路导析】先将各式化简，化成最简二次根式之后，再看被开方数是否为 6。
【请你解答】
$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$，$\sqrt{27}$，$\sqrt{24}$，$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$。
【思路导析】先将各式化简，化成最简二次根式之后，再看被开方数是否为 6。
【请你解答】
答案
【请你解答】
1. 化简$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$：
$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数是$6$，能与$\sqrt{6}$合并。
2. 化简$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$：
$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{\dfrac{3×2}{2×2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，被开方数是$6$，能与$\sqrt{6}$合并。
3. 化简$\sqrt{27}$：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数是$3$，不能与$\sqrt{6}$合并。
4. 化简$\sqrt{24}$：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数是$6$，能与$\sqrt{6}$合并。
5. 化简$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$：
$\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac{1×3}{12×3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，被开方数是$3$，不能与$\sqrt{6}$合并。
能与$\sqrt{6}$合并的二次根式为$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$，$\sqrt{24}$。
1. 化简$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$：
$\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2×3}{3×3}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}$，被开方数是$6$，能与$\sqrt{6}$合并。
2. 化简$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$：
$\sqrt{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{\dfrac{3×2}{2×2}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$，被开方数是$6$，能与$\sqrt{6}$合并。
3. 化简$\sqrt{27}$：
$\sqrt{27}=\sqrt{9×3}=3\sqrt{3}$，被开方数是$3$，不能与$\sqrt{6}$合并。
4. 化简$\sqrt{24}$：
$\sqrt{24}=\sqrt{4×6}=2\sqrt{6}$，被开方数是$6$，能与$\sqrt{6}$合并。
5. 化简$\sqrt{\dfrac{1}{12}}$：
$\sqrt{\dfrac{1}{12}}=\sqrt{\dfrac{1×3}{12×3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{6}$，被开方数是$3$，不能与$\sqrt{6}$合并。
能与$\sqrt{6}$合并的二次根式为$\sqrt{\dfrac{2}{3}}$，$\sqrt{\dfrac{3}{2}}$，$\sqrt{24}$。
例 2 计算：(1)$\sqrt{5}+\sqrt{20}-\sqrt{45}$；
(2)$\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$。
【思路导析】先化简，再合并。
【请你解答】
(2)$\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$。
【思路导析】先化简，再合并。
【请你解答】
答案
(1)
首先，将各个二次根式化为最简形式：
$\sqrt{5} = \sqrt{5}$（无法进一步简化），
$\sqrt{20} = \sqrt{4 × 5} = 2\sqrt{5}$，
$\sqrt{45} = \sqrt{9 × 5} = 3\sqrt{5}$，
然后，进行加减运算：
$\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 0$。
(2)
首先将各个二次根式化为最简形式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x} = \frac{2}{3} × 3\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$，
$6\sqrt{\frac{x}{4}} = 6 × \frac{\sqrt{x}}{2} = 3\sqrt{x}$，
$2x\sqrt{\frac{1}{x}} = 2\sqrt{x}$，
然后，进行加减运算：
$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x}$。
首先，将各个二次根式化为最简形式：
$\sqrt{5} = \sqrt{5}$（无法进一步简化），
$\sqrt{20} = \sqrt{4 × 5} = 2\sqrt{5}$，
$\sqrt{45} = \sqrt{9 × 5} = 3\sqrt{5}$，
然后，进行加减运算：
$\sqrt{5} + 2\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 0$。
(2)
首先将各个二次根式化为最简形式：
$\frac{2}{3}\sqrt{9x} = \frac{2}{3} × 3\sqrt{x} = 2\sqrt{x}$，
$6\sqrt{\frac{x}{4}} = 6 × \frac{\sqrt{x}}{2} = 3\sqrt{x}$，
$2x\sqrt{\frac{1}{x}} = 2\sqrt{x}$，
然后，进行加减运算：
$2\sqrt{x} + 3\sqrt{x} - 2\sqrt{x} = 3\sqrt{x}$。
例 3 如图，已知长方形 ABCD 的长为$ 2\sqrt{6}+\sqrt{5}$，宽为$ 2\sqrt{6}-\sqrt{5}$。
(1)求长方形 ABCD 的周长；
(2)在长方形 ABCD 内部挖去一个边长为$ \sqrt{6}-\sqrt{5}$的正方形，求剩余部分的面积。
【探究点拨】(1)长方形的周长 =2×()长 +宽)，代入长和宽，然后化简二次根式。
(2)剩余部分的面积 =长方形的面积 -挖去的正方形的面积，代入数值，进行二次根式的化简求值。
【规范解答】(1)长方形 ABCD 的周长
$=2×[(2\sqrt{6}+\sqrt{5})+(2\sqrt{6}-\sqrt{5})]$
$=2×(2\sqrt{6}+\sqrt{5}+2\sqrt{6}-\sqrt{5})$
$=2×4\sqrt{6}=8\sqrt{6}$。
(2)剩余部分的面积
$=(2\sqrt{6}+\sqrt{5})×(2\sqrt{6}-\sqrt{5})-(\sqrt{6}-\sqrt{5})^{2}$
$=(2\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}-[(\sqrt{6})^{2}-2\sqrt{6}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}]$
$=(24-5)-(6-2\sqrt{30}+5)$
$=19-(11-2\sqrt{30})$
$=19-11+2\sqrt{30}=8+2\sqrt{30}$。
(1)求长方形 ABCD 的周长；
(2)在长方形 ABCD 内部挖去一个边长为$ \sqrt{6}-\sqrt{5}$的正方形，求剩余部分的面积。
【探究点拨】(1)长方形的周长 =2×()长 +宽)，代入长和宽，然后化简二次根式。
(2)剩余部分的面积 =长方形的面积 -挖去的正方形的面积，代入数值，进行二次根式的化简求值。
【规范解答】(1)长方形 ABCD 的周长
$=2×[(2\sqrt{6}+\sqrt{5})+(2\sqrt{6}-\sqrt{5})]$
$=2×(2\sqrt{6}+\sqrt{5}+2\sqrt{6}-\sqrt{5})$
$=2×4\sqrt{6}=8\sqrt{6}$。
(2)剩余部分的面积
$=(2\sqrt{6}+\sqrt{5})×(2\sqrt{6}-\sqrt{5})-(\sqrt{6}-\sqrt{5})^{2}$
$=(2\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}-[(\sqrt{6})^{2}-2\sqrt{6}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^{2}]$
$=(24-5)-(6-2\sqrt{30}+5)$
$=19-(11-2\sqrt{30})$
$=19-11+2\sqrt{30}=8+2\sqrt{30}$。
答案
(1)长方形$ABCD$的周长为：
$2× [(2\sqrt{6}+\sqrt{5})+(2\sqrt{6}-\sqrt{5})]$
$=2× (2\sqrt{6}+\sqrt{5}+2\sqrt{6}-\sqrt{5})$
$=2×4\sqrt{6}$
$=8\sqrt{6}$
(2)剩余部分的面积为：
$(2\sqrt{6}+\sqrt{5})×(2\sqrt{6}-\sqrt{5})-(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
$=(2\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2-[(\sqrt{6})^2-2\sqrt{6}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2]$
$=(24 - 5) - (6 - 2\sqrt{30} + 5)$
$=19 - (11 - 2\sqrt{30})$
$=19 - 11 + 2\sqrt{30}$
$=8 + 2\sqrt{30}$
$2× [(2\sqrt{6}+\sqrt{5})+(2\sqrt{6}-\sqrt{5})]$
$=2× (2\sqrt{6}+\sqrt{5}+2\sqrt{6}-\sqrt{5})$
$=2×4\sqrt{6}$
$=8\sqrt{6}$
(2)剩余部分的面积为：
$(2\sqrt{6}+\sqrt{5})×(2\sqrt{6}-\sqrt{5})-(\sqrt{6}-\sqrt{5})^2$
$=(2\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2-[(\sqrt{6})^2-2\sqrt{6}×\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2]$
$=(24 - 5) - (6 - 2\sqrt{30} + 5)$
$=19 - (11 - 2\sqrt{30})$
$=19 - 11 + 2\sqrt{30}$
$=8 + 2\sqrt{30}$
