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10. 如图，△ABC 的周长为 8，⊙O 与 BC 相切于点 D，与 AC 的延长线相切于点 E，与 AB 的延长线相切于点 F，则 AF 的长为
4
。答案
10. 4
解析
【解析】
设$CE=CD=x$，$BD=BF=y$，$AE=AF=z$。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得$CE=CD$，$BD=BF$，$AE=AF$。
已知$△ ABC$的周长为8，即$AC+BC+AB=8$，
其中$AC=AE-CE=z-x$，$BC=CD+BD=x+y$，$AB=AF-BF=z-y$，
代入得：$(z-x)+(x+y)+(z-y)=8$，
化简得$2z=8$，解得$z=4$，即$AF=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题考查切线长定理的应用，通过设未知数，结合三角形周长建立方程求解，核心是利用切线长定理实现线段的等量转化。
【难度系数】
0.6
设$CE=CD=x$，$BD=BF=y$，$AE=AF=z$。
根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，可得$CE=CD$，$BD=BF$，$AE=AF$。
已知$△ ABC$的周长为8，即$AC+BC+AB=8$，
其中$AC=AE-CE=z-x$，$BC=CD+BD=x+y$，$AB=AF-BF=z-y$，
代入得：$(z-x)+(x+y)+(z-y)=8$，
化简得$2z=8$，解得$z=4$，即$AF=4$。
【答案】
4
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题考查切线长定理的应用，通过设未知数，结合三角形周长建立方程求解，核心是利用切线长定理实现线段的等量转化。
【难度系数】
0.6
11. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，以正方形的一边 BC 为直径在正方形 ABCD 内作半圆，过点 A 作半圆的切线，与半圆相切于点 F，与 DC 相交于点 E，则△ADE 的面积为(
A.5 cm²
B.6 cm²
C.7 cm²
D.8 cm²
B
)A.5 cm²
B.6 cm²
C.7 cm²
D.8 cm²
答案
11. B
解析
【解析】
设 $ DE = x \, \mathrm{cm} $，则 $ EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $。
因为 $ AE $ 是半圆的切线，根据切线长定理，$ AF = AB = 4 \, \mathrm{cm} $，$ FE = EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $，所以 $ AE = AF + FE = 4 + (4 - x) = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
在 $ \mathrm{Rt} △ ADE $ 中，由勾股定理得：
$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $，即 $ 4^2 + x^2 = (8 - x)^2 $。
展开并化简：
$ 16 + x^2 = 64 - 16x + x^2 $，
消去 $ x^2 $ 得 $ 16 = 64 - 16x $，
解得 $ x = 3 $，即 $ DE = 3 \, \mathrm{cm} $。
所以 $ △ ADE $ 的面积为 $ \frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，勾股定理
【点评】
本题考查切线长定理与勾股定理的综合应用，通过设未知数利用勾股定理建立方程是解题关键，需熟练掌握相关定理的内容及应用。
【难度系数】
0.6
设 $ DE = x \, \mathrm{cm} $，则 $ EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $。
因为 $ AE $ 是半圆的切线，根据切线长定理，$ AF = AB = 4 \, \mathrm{cm} $，$ FE = EC = (4 - x) \, \mathrm{cm} $，所以 $ AE = AF + FE = 4 + (4 - x) = (8 - x) \, \mathrm{cm} $。
在 $ \mathrm{Rt} △ ADE $ 中，由勾股定理得：
$ AD^2 + DE^2 = AE^2 $，即 $ 4^2 + x^2 = (8 - x)^2 $。
展开并化简：
$ 16 + x^2 = 64 - 16x + x^2 $，
消去 $ x^2 $ 得 $ 16 = 64 - 16x $，
解得 $ x = 3 $，即 $ DE = 3 \, \mathrm{cm} $。
所以 $ △ ADE $ 的面积为 $ \frac{1}{2} × AD × DE = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6 \, \mathrm{cm}^2 $。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理，勾股定理
【点评】
本题考查切线长定理与勾股定理的综合应用，通过设未知数利用勾股定理建立方程是解题关键，需熟练掌握相关定理的内容及应用。
【难度系数】
0.6
12. 如图，菱形 ABCD 的边 AB = 20，面积为 320，∠BAD ＜ 90°，⊙O 与边 AB，AD 都相切，AO = 10，求⊙O 的半径长为多少。
答案
12. $2\sqrt{5}$
解析
【解析】
过点O作OE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，设⊙O的半径为r。
1. 根据菱形面积公式，$AB·DF=320$，已知$AB=20$，解得$DF=16$。
2. 在$Rt△ADF$中，$AD=AB=20$，由勾股定理得$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12$，因此$cos∠BAD=\frac{AF}{AD}=\frac{3}{5}$。
3. 因为⊙O与AB、AD相切，所以AO平分∠BAD，OE为⊙O的半径，即$OE=r$。在$Rt△AOE$中，$AE=\sqrt{AO^2-r^2}$，由余弦二倍角公式$cos∠BAD=2cos^2∠OAE-1$，其中$cos∠OAE=\frac{AE}{AO}$。
4. 将$cos∠BAD=\frac{3}{5}$，$AO=10$代入公式：
$\frac{3}{5}=2×(\frac{\sqrt{100-r^2}}{10})^2 - 1$
解方程得$r^2=20$，即$r=2\sqrt{5}$（舍去负根）。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
菱形的性质、切线的性质、余弦二倍角公式
【点评】
本题是菱形与圆的综合题，需结合菱形面积公式、切线的性质及三角恒等变换求解，解题关键是利用角平分线与二倍角公式建立关于半径的方程，考查综合运用几何与代数知识的能力。
【难度系数】
0.4
过点O作OE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，设⊙O的半径为r。
1. 根据菱形面积公式，$AB·DF=320$，已知$AB=20$，解得$DF=16$。
2. 在$Rt△ADF$中，$AD=AB=20$，由勾股定理得$AF=\sqrt{AD^2-DF^2}=\sqrt{20^2-16^2}=12$，因此$cos∠BAD=\frac{AF}{AD}=\frac{3}{5}$。
3. 因为⊙O与AB、AD相切，所以AO平分∠BAD，OE为⊙O的半径，即$OE=r$。在$Rt△AOE$中，$AE=\sqrt{AO^2-r^2}$，由余弦二倍角公式$cos∠BAD=2cos^2∠OAE-1$，其中$cos∠OAE=\frac{AE}{AO}$。
4. 将$cos∠BAD=\frac{3}{5}$，$AO=10$代入公式：
$\frac{3}{5}=2×(\frac{\sqrt{100-r^2}}{10})^2 - 1$
解方程得$r^2=20$，即$r=2\sqrt{5}$（舍去负根）。
【答案】
$\boldsymbol{2\sqrt{5}}$
【知识点】
菱形的性质、切线的性质、余弦二倍角公式
【点评】
本题是菱形与圆的综合题，需结合菱形面积公式、切线的性质及三角恒等变换求解，解题关键是利用角平分线与二倍角公式建立关于半径的方程，考查综合运用几何与代数知识的能力。
【难度系数】
0.4
13. 如图，AB 是⊙O 的直径，AD 和 BC 分别切⊙O 于 A，B 两点，CD 与⊙O 有公共点 E，且 AD = DE。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若 AB = 12，BC = 4，求 AD 的长。
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若 AB = 12，BC = 4，求 AD 的长。
答案
13. (1)略 (2)9
解析
【解析】
(1) 连接OD、OE。
∵AD切⊙O于点A，
∴∠OAD=90°。
在△OAD和△OED中，
$\{\begin{array}{l} AD=DE\\ OA=OE\\ OD=OD\end{array} $
∴△OAD≌△OED（SSS），
∴∠OED=∠OAD=90°，即OE⊥CD。
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 过点C作CF⊥AD于点F。
∵AD、BC、CD均为⊙O的切线，
∴AD=DE，BC=CE。
设AD的长为x，则DE=x，CD=x+4，
CF=AB=12，DF=AD-BC=x-4。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$DF^2+CF^2=CD^2$，
即$(x-4)^2+12^2=(x+4)^2$，
展开并化简得：$x^2-8x+16+144=x^2+8x+16$，
解得$x=9$，即AD的长为9。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查切线相关定理与勾股定理的应用，第一问通过构造全等三角形证明垂直，进而判定切线；第二问利用切线长定理结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合思想，需熟练掌握几何定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
(1) 连接OD、OE。
∵AD切⊙O于点A，
∴∠OAD=90°。
在△OAD和△OED中，
$\{\begin{array}{l} AD=DE\\ OA=OE\\ OD=OD\end{array} $
∴△OAD≌△OED（SSS），
∴∠OED=∠OAD=90°，即OE⊥CD。
∵OE是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线。
(2) 过点C作CF⊥AD于点F。
∵AD、BC、CD均为⊙O的切线，
∴AD=DE，BC=CE。
设AD的长为x，则DE=x，CD=x+4，
CF=AB=12，DF=AD-BC=x-4。
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
$DF^2+CF^2=CD^2$，
即$(x-4)^2+12^2=(x+4)^2$，
展开并化简得：$x^2-8x+16+144=x^2+8x+16$，
解得$x=9$，即AD的长为9。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查切线相关定理与勾股定理的应用，第一问通过构造全等三角形证明垂直，进而判定切线；第二问利用切线长定理结合勾股定理建立方程求解，体现了数形结合思想，需熟练掌握几何定理的综合运用。
【难度系数】
0.6
