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14. 如图，在等腰三角形 ABC 中，O 为底边 BC 的中点，以点 O 为圆心作半圆与 AB，AC 相切，切点分别为 D，E。过半圆上一点 F 作半圆的切线，分别交 AB，AC 于点 M，N，则$\frac{BM·CN}{BC²}$的值为
$\dfrac{1}{4}$
。答案
14. $\dfrac{1}{4}$
解析
【解析】
连接OD、OE、OM、ON。
因为AB、AC、MN均为半圆O的切线，所以OD⊥AB，OE⊥AC，MD=MF，NE=NF，∠DOM=∠FOM，∠EON=∠FON。
在等腰△ABC中，O为BC中点，故OB=OC=$\frac{1}{2}$BC，∠B=∠C，∠DOE=180°-∠A。
则∠MON=∠FOM+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠DOF+∠EOF)=$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)。
又∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)，所以∠MON=∠B=∠C。
因为∠B+∠BMO+∠BOM=180°，∠BOM+∠MON+∠NOC=180°，所以∠BMO=∠NOC。
因此△BOM∽△ONC，故$\frac{BM}{OC}=\frac{OB}{CN}$，即$BM·CN=OB·OC$。
因为$OB=OC=\frac{1}{2}$BC，所以$OB·OC=(\frac{1}{2}BC)^2=\frac{1}{4}$BC²，即$BM·CN=\frac{1}{4}$BC²。
所以$\frac{BM·CN}{BC²}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
等腰三角形性质，切线的性质与定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形、切线及相似三角形的相关知识，解题关键是通过连接辅助线，利用切线的性质得到角度关系，进而证明三角形相似，将线段乘积关系转化为已知线段的平方关系，对几何综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
连接OD、OE、OM、ON。
因为AB、AC、MN均为半圆O的切线，所以OD⊥AB，OE⊥AC，MD=MF，NE=NF，∠DOM=∠FOM，∠EON=∠FON。
在等腰△ABC中，O为BC中点，故OB=OC=$\frac{1}{2}$BC，∠B=∠C，∠DOE=180°-∠A。
则∠MON=∠FOM+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠DOF+∠EOF)=$\frac{1}{2}$∠DOE=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)。
又∠B=$\frac{1}{2}$(180°-∠A)，所以∠MON=∠B=∠C。
因为∠B+∠BMO+∠BOM=180°，∠BOM+∠MON+∠NOC=180°，所以∠BMO=∠NOC。
因此△BOM∽△ONC，故$\frac{BM}{OC}=\frac{OB}{CN}$，即$BM·CN=OB·OC$。
因为$OB=OC=\frac{1}{2}$BC，所以$OB·OC=(\frac{1}{2}BC)^2=\frac{1}{4}$BC²，即$BM·CN=\frac{1}{4}$BC²。
所以$\frac{BM·CN}{BC²}=\frac{1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
等腰三角形性质，切线的性质与定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形、切线及相似三角形的相关知识，解题关键是通过连接辅助线，利用切线的性质得到角度关系，进而证明三角形相似，将线段乘积关系转化为已知线段的平方关系，对几何综合运用能力要求较高。
【难度系数】
0.3
15. 如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O，与斜边 AC 交于点 D，过点 D 作⊙O 的切线交 BC 边于点 E，连结 OE。
（1）求证：EB = EC = ED。
（2）试问在线段 DC 上是否存在点 F，满足 BC² = 4DF·DC？若存在，作出点 F，并予以证明；若不存在，请说明理由。
（1）求证：EB = EC = ED。
（2）试问在线段 DC 上是否存在点 F，满足 BC² = 4DF·DC？若存在，作出点 F，并予以证明；若不存在，请说明理由。
答案
15. (1)略
(2)解：在$△ DEC$中，$\because ED = EC$，$\therefore ∠ C = ∠ CDE$．
$\therefore ∠ DEC = 180° - 2∠ C$．
①当$∠ DEC ＞ ∠ C$时，有$180° - 2∠ C ＞ ∠ C$，即当$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$时，在线段$DC$上存在点$F$满足条件．
在$∠ DEC$内，以$ED$为一边，作$∠ DEF$，使$∠ DEF = ∠ C$，且$EF$交$DC$于点$F$，则点$F$即为所求．
证明：在$△ DCE$和$△ DEF$中，
$∠ CDE = ∠ EDF$，$∠ C = ∠ DEF$，
$\therefore △ DEF ∽ △ DCE$，
$\therefore \dfrac{DE}{DC} = \dfrac{DF}{DE}$，
$\therefore DE^{2} = DF · DC$，即$(\dfrac{1}{2}BC)^{2} = DF · DC$，
$\therefore BC^{2} = 4DF · DC$．
②当$∠ DEC = ∠ C$时，$△ DEC$为等边三角形，即$∠ DEC = ∠ C = 60°$，此时，点$C$即为满足条件的点$F$．
证明：$\because DF = DC = DE = \dfrac{1}{2}BC$，$\therefore BC^{2} = 4DE^{2} = 4DF · DC$．
③当$∠ DEC ＜ ∠ C$时，有$180° - 2∠ C ＜ ∠ C$，即当$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$时，所作$∠ DEF ＞ ∠ DEC$，此时点$F$在$DC$的延长线上，故在线段$DC$上不存在满足条件的点$F$．
(2)解：在$△ DEC$中，$\because ED = EC$，$\therefore ∠ C = ∠ CDE$．
$\therefore ∠ DEC = 180° - 2∠ C$．
①当$∠ DEC ＞ ∠ C$时，有$180° - 2∠ C ＞ ∠ C$，即当$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$时，在线段$DC$上存在点$F$满足条件．
在$∠ DEC$内，以$ED$为一边，作$∠ DEF$，使$∠ DEF = ∠ C$，且$EF$交$DC$于点$F$，则点$F$即为所求．
证明：在$△ DCE$和$△ DEF$中，
$∠ CDE = ∠ EDF$，$∠ C = ∠ DEF$，
$\therefore △ DEF ∽ △ DCE$，
$\therefore \dfrac{DE}{DC} = \dfrac{DF}{DE}$，
$\therefore DE^{2} = DF · DC$，即$(\dfrac{1}{2}BC)^{2} = DF · DC$，
$\therefore BC^{2} = 4DF · DC$．
②当$∠ DEC = ∠ C$时，$△ DEC$为等边三角形，即$∠ DEC = ∠ C = 60°$，此时，点$C$即为满足条件的点$F$．
证明：$\because DF = DC = DE = \dfrac{1}{2}BC$，$\therefore BC^{2} = 4DE^{2} = 4DF · DC$．
③当$∠ DEC ＜ ∠ C$时，有$180° - 2∠ C ＜ ∠ C$，即当$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$时，所作$∠ DEF ＞ ∠ DEC$，此时点$F$在$DC$的延长线上，故在线段$DC$上不存在满足条件的点$F$．
解析
【解析】
（1）证明：连接$OD$、$BD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because ED$是$\odot O$的切线，$\therefore OD⊥ ED$，即$∠ ODE=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，$OB$是$\odot O$的半径，$\therefore EB$是$\odot O$的切线，$\therefore ED=EB$。
$\because OD=OA$，$\therefore ∠ ODA=∠ A$。
$\because ∠ EDC+∠ ODA=90°$，$∠ C+∠ A=90°$，$\therefore ∠ EDC=∠ C$，$\therefore ED=EC$。
$\therefore EB=EC=ED$。
（2）解：在$△ DEC$中，$\because ED = EC$，$\therefore ∠ C = ∠ CDE$，$\therefore ∠ DEC = 180° - 2∠ C$。
①当$∠ DEC ＞ ∠ C$时，即$180° - 2∠ C ＞ ∠ C$，解得$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$，在线段$DC$上存在点$F$满足条件。
作法：在$∠ DEC$内，以$ED$为一边，作$∠ DEF = ∠ C$，$EF$交$DC$于点$F$，则点$F$即为所求。
证明：在$△ DCE$和$△ DEF$中，
$∠ CDE = ∠ EDF$，$∠ C = ∠ DEF$，
$\therefore △ DEF ∽ △ DCE$，
$\therefore \dfrac{DE}{DC} = \dfrac{DF}{DE}$，即$DE^{2} = DF· DC$。
由（1）知$DE=\dfrac{1}{2}BC$，$\therefore (\dfrac{1}{2}BC)^{2}=DF· DC$，即$BC^{2}=4DF· DC$。
②当$∠ DEC = ∠ C$时，$△ DEC$为等边三角形，即$∠ DEC = ∠ C = 60°$，此时点$C$即为满足条件的点$F$。
证明：$\because DF = DC = DE = \dfrac{1}{2}BC$，$\therefore BC^{2}=4DE^{2}=4DF· DC$。
③当$∠ DEC ＜ ∠ C$时，即$180° - 2∠ C ＜ ∠ C$，解得$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$，所作$∠ DEF ＞ ∠ DEC$，点$F$在$DC$的延长线上，故在线段$DC$上不存在满足条件的点$F$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）当$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$时，在线段$DC$上存在点$F$（作法：在$∠ DEC$内，以$ED$为一边作$∠ DEF = ∠ C$，$EF$交$DC$于点$F$）满足$BC^{2}=4DF· DC$；当$∠ C=60°$时，点$C$即为满足条件的点$F$；当$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$时，线段$DC$上不存在满足条件的点$F$。
【知识点】
切线的性质与判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、相似三角形及等腰三角形的相关知识，需通过分类讨论$∠ C$的取值范围判断点$F$的存在性，着重考查了分类讨论的数学思想，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
（1）证明：连接$OD$、$BD$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$。
$\because ED$是$\odot O$的切线，$\therefore OD⊥ ED$，即$∠ ODE=90°$。
$\because ∠ ABC=90°$，$OB$是$\odot O$的半径，$\therefore EB$是$\odot O$的切线，$\therefore ED=EB$。
$\because OD=OA$，$\therefore ∠ ODA=∠ A$。
$\because ∠ EDC+∠ ODA=90°$，$∠ C+∠ A=90°$，$\therefore ∠ EDC=∠ C$，$\therefore ED=EC$。
$\therefore EB=EC=ED$。
（2）解：在$△ DEC$中，$\because ED = EC$，$\therefore ∠ C = ∠ CDE$，$\therefore ∠ DEC = 180° - 2∠ C$。
①当$∠ DEC ＞ ∠ C$时，即$180° - 2∠ C ＞ ∠ C$，解得$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$，在线段$DC$上存在点$F$满足条件。
作法：在$∠ DEC$内，以$ED$为一边，作$∠ DEF = ∠ C$，$EF$交$DC$于点$F$，则点$F$即为所求。
证明：在$△ DCE$和$△ DEF$中，
$∠ CDE = ∠ EDF$，$∠ C = ∠ DEF$，
$\therefore △ DEF ∽ △ DCE$，
$\therefore \dfrac{DE}{DC} = \dfrac{DF}{DE}$，即$DE^{2} = DF· DC$。
由（1）知$DE=\dfrac{1}{2}BC$，$\therefore (\dfrac{1}{2}BC)^{2}=DF· DC$，即$BC^{2}=4DF· DC$。
②当$∠ DEC = ∠ C$时，$△ DEC$为等边三角形，即$∠ DEC = ∠ C = 60°$，此时点$C$即为满足条件的点$F$。
证明：$\because DF = DC = DE = \dfrac{1}{2}BC$，$\therefore BC^{2}=4DE^{2}=4DF· DC$。
③当$∠ DEC ＜ ∠ C$时，即$180° - 2∠ C ＜ ∠ C$，解得$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$，所作$∠ DEF ＞ ∠ DEC$，点$F$在$DC$的延长线上，故在线段$DC$上不存在满足条件的点$F$。
【答案】
（1）证明见上述解析；
（2）当$0° ＜ ∠ C ＜ 60°$时，在线段$DC$上存在点$F$（作法：在$∠ DEC$内，以$ED$为一边作$∠ DEF = ∠ C$，$EF$交$DC$于点$F$）满足$BC^{2}=4DF· DC$；当$∠ C=60°$时，点$C$即为满足条件的点$F$；当$60° ＜ ∠ C ＜ 90°$时，线段$DC$上不存在满足条件的点$F$。
【知识点】
切线的性质与判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查圆的切线性质、相似三角形及等腰三角形的相关知识，需通过分类讨论$∠ C$的取值范围判断点$F$的存在性，着重考查了分类讨论的数学思想，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.4
