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6. 如图，直线 AB，CD，BC 分别与⊙O 相切于点 E，G，F，且 AB // CD，若 OB = 6 cm，OC = 8 cm，则 BE + CG 的长等于(
A.13
B.12
C.11
D.10
D
)A.13
B.12
C.11
D.10
答案
6. D
解析
【解析】
1. 根据切线长定理可得：$BE = BF$，$CG = CF$，且$OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ BCD$。
2. 因为$AB // CD$，所以$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，则$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = 90°$，故$∠ BOC = 90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}$。
4. 因此$BE + CG = BF + CF = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题考查切线长定理与勾股定理的综合应用，解题关键是利用切线长定理将$BE+CG$转化为$BC$的长度，再通过勾股定理求出$BC$的长。
【难度系数】
0.6
1. 根据切线长定理可得：$BE = BF$，$CG = CF$，且$OB$平分$∠ ABC$，$OC$平分$∠ BCD$。
2. 因为$AB // CD$，所以$∠ ABC + ∠ BCD = 180°$，则$∠ OBC + ∠ OCB = \frac{1}{2}(∠ ABC + ∠ BCD) = 90°$，故$∠ BOC = 90°$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ BOC$中，由勾股定理得：$BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\ \mathrm{cm}$。
4. 因此$BE + CG = BF + CF = BC = 10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题考查切线长定理与勾股定理的综合应用，解题关键是利用切线长定理将$BE+CG$转化为$BC$的长度，再通过勾股定理求出$BC$的长。
【难度系数】
0.6
7. 如图，PA，PB 是⊙O 的两条切线，A，B 为切点，AC 是⊙O 的直径，已知∠P = 40°，则∠ACB 的大小是(
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
C
)A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
答案
7. C
解析
【解析】
连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ACB=1/2∠AOB=1/2×140°=70°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题考查切线性质、圆周角定理的综合应用，通过作辅助线OB，利用四边形内角和求出圆心角，再结合圆周角定理求解，需熟练掌握切线与半径的垂直关系及圆周角与圆心角的数量关系。
【难度系数】
0.7
连接OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，
在四边形OAPB中，∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-40°=140°，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠ACB=1/2∠AOB=1/2×140°=70°。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题考查切线性质、圆周角定理的综合应用，通过作辅助线OB，利用四边形内角和求出圆心角，再结合圆周角定理求解，需熟练掌握切线与半径的垂直关系及圆周角与圆心角的数量关系。
【难度系数】
0.7
8. 如图，PA，PB 分别切⊙O 于点 A，B，连结 PO 与⊙O 相交于点 C，连结 AC，BC。求证：AC = BC。
答案
证明：
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA = PB，∠APC = ∠BPC（切线长定理）。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴△PAC ≌ △PBC（SAS），
∴AC = BC。
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA = PB，∠APC = ∠BPC（切线长定理）。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴△PAC ≌ △PBC（SAS），
∴AC = BC。
解析
【解析】
证明：
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA = PB，∠APC = ∠BPC（切线长定理）。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴△PAC ≌ △PBC（SAS），
∴AC = BC。
【答案】
AC = BC
【知识点】
切线长定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查切线长定理与全等三角形的判定及性质的综合运用，解题关键是利用切线长定理得到证明三角形全等的条件，进而推导出线段相等。
【难度系数】
0.6
证明：
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA = PB，∠APC = ∠BPC（切线长定理）。
在△PAC和△PBC中，
$\{\begin{array}{l}PA = PB \\∠APC = ∠BPC \\PC = PC\end{array} $
∴△PAC ≌ △PBC（SAS），
∴AC = BC。
【答案】
AC = BC
【知识点】
切线长定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查切线长定理与全等三角形的判定及性质的综合运用，解题关键是利用切线长定理得到证明三角形全等的条件，进而推导出线段相等。
【难度系数】
0.6
9. 如图，EB，EC 是⊙O 的两条切线，B，C 是切点，A，D 是⊙O 上的两点。若∠E = 46°，∠DCF = 32°，则∠A 为
99
°。答案
9. 99
解析
【解析】
1. 因为EB、EC是⊙O的切线，所以EB=EC，△EBC为等腰三角形。
2. 已知∠E=46°，由三角形内角和定理得：∠ECB=(180°-46°)÷2=67°。
3. 根据平角的定义，∠ECB+∠BCD+∠DCF=180°，代入∠DCF=32°，得∠BCD=180°-67°-32°=81°。
4. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，由圆内接四边形对角互补的性质，得∠A+∠BCD=180°，所以∠A=180°-81°=99°。
【答案】
99
【知识点】
切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查切线的性质、圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，需熟练运用相关性质推导角度关系。
【难度系数】
0.5
1. 因为EB、EC是⊙O的切线，所以EB=EC，△EBC为等腰三角形。
2. 已知∠E=46°，由三角形内角和定理得：∠ECB=(180°-46°)÷2=67°。
3. 根据平角的定义，∠ECB+∠BCD+∠DCF=180°，代入∠DCF=32°，得∠BCD=180°-67°-32°=81°。
4. 因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，由圆内接四边形对角互补的性质，得∠A+∠BCD=180°，所以∠A=180°-81°=99°。
【答案】
99
【知识点】
切线的性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查切线的性质、圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，需熟练运用相关性质推导角度关系。
【难度系数】
0.5
