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1. 如图，PA，PB 分别切⊙O 于 A，B 两点。若 PA = 5，则 PB 的长为
5
。答案
1. 5
解析
【解析】
因为PA，PB分别切⊙O于A，B两点，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，所以PB = PA = 5。
【答案】
5
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题考查切线长定理的直接应用，属于基础题型，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
因为PA，PB分别切⊙O于A，B两点，根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，所以PB = PA = 5。
【答案】
5
【知识点】
切线长定理
【点评】
本题考查切线长定理的直接应用，属于基础题型，掌握切线长定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2. 如图，从⊙O 外一点 P 引圆的两条切线 PA，PB，切点分别是 A，B，如果∠APB = 60°，线段 PA = 3，那么⊙O 的半径是
$\sqrt{3}$
。答案
2. $\sqrt{3}$
解析
【解析】
连接OA、OP。
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴OP平分∠APB，即∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°。
在Rt△OAP中，PA=3，∠APO=30°，
由tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$，得
OA=PA·tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
即⊙O的半径是$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，三角函数的应用
【点评】
本题考查切线的性质与三角函数的综合应用，解题关键是利用切线性质构造直角三角形，结合角平分线性质求出相关角度，再借助三角函数计算半径。
【难度系数】
0.6
连接OA、OP。
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°。
∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB=60°，
∴OP平分∠APB，即∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°。
在Rt△OAP中，PA=3，∠APO=30°，
由tan∠APO=$\frac{OA}{PA}$，得
OA=PA·tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
即⊙O的半径是$\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
切线的性质，三角函数的应用
【点评】
本题考查切线的性质与三角函数的综合应用，解题关键是利用切线性质构造直角三角形，结合角平分线性质求出相关角度，再借助三角函数计算半径。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在△MBC 中，∠B = 90°，∠C = 60°，MB = 2√{3}，点 A 在 MB 上，以 AB 为直径作⊙O 与 MC 相切于点 D，则 CD 的长为
2
。答案
3. 2
解析
【解析】
在$Rt△ MBC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=60°$，故$∠ M=30°$。
由$\tan∠ M=\frac{BC}{MB}$，即$\tan30°=\frac{BC}{2\sqrt{3}}$，解得$BC=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，再由勾股定理得$MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$AB=2r$，$MA=MB-AB=2\sqrt{3}-2r$，$MO=MA+AO=2\sqrt{3}-r$。
因为$\odot O$与$MC$相切于$D$，所以$OD⊥ MC$。在$Rt△ MOD$中，$∠ M=30°$，故$MO=2OD$，即$2\sqrt{3}-r=2r$，解得$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
由切线长定理，$MD^2=MA· MB$，代入$MA=2\sqrt{3}-2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$MB=2\sqrt{3}$，得$MD^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{3}=4$，故$MD=2$。
因此$CD=MC-MD=4-2=2$。
【答案】
2
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形性质，切线长定理
【点评】
本题综合考查了切线的性质、直角三角形的性质及切线长定理，解题关键是结合直角三角形边角关系求出线段长度，利用切线性质建立方程求解半径，再通过切线长定理求出切线长，进而得到CD的长度。
【难度系数】
0.6
在$Rt△ MBC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=60°$，故$∠ M=30°$。
由$\tan∠ M=\frac{BC}{MB}$，即$\tan30°=\frac{BC}{2\sqrt{3}}$，解得$BC=2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{3}=2$，再由勾股定理得$MC=\sqrt{MB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+2^2}=4$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$AB=2r$，$MA=MB-AB=2\sqrt{3}-2r$，$MO=MA+AO=2\sqrt{3}-r$。
因为$\odot O$与$MC$相切于$D$，所以$OD⊥ MC$。在$Rt△ MOD$中，$∠ M=30°$，故$MO=2OD$，即$2\sqrt{3}-r=2r$，解得$r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
由切线长定理，$MD^2=MA· MB$，代入$MA=2\sqrt{3}-2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$MB=2\sqrt{3}$，得$MD^2=\frac{2\sqrt{3}}{3}×2\sqrt{3}=4$，故$MD=2$。
因此$CD=MC-MD=4-2=2$。
【答案】
2
【知识点】
切线的性质，含30°角的直角三角形性质，切线长定理
【点评】
本题综合考查了切线的性质、直角三角形的性质及切线长定理，解题关键是结合直角三角形边角关系求出线段长度，利用切线性质建立方程求解半径，再通过切线长定理求出切线长，进而得到CD的长度。
【难度系数】
0.6
4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3，⊙O 与边 BC，CD 相切，过点 B 的直线与⊙O 相切于点 E，连结 AE。若△ABE 为等边三角形，则⊙O 的半径为
$6 - 3\sqrt{3}$
。答案
4. $6 - 3\sqrt{3}$
解析
【解析】
设⊙O的半径为r，⊙O与BC相切于点F，连接OF、BO。
1. 因为△ABE为等边三角形，AB=3，所以BE=AB=3，∠ABE=60°。
2. 矩形ABCD中∠ABC=90°，故∠EBC=90°-60°=30°。
3. 由切线长定理，BE、BF为⊙O的两条切线，故BE=BF=3，BO平分∠EBC，即∠OBC=15°。
4. 因为⊙O与BC相切，所以OF⊥BC，OF=r，在Rt△BOF中，$\tan∠ OBC=\frac{OF}{BF}$。
5. 计算$\tan15°=\tan(45°-30°)=2-\sqrt{3}$，代入得$2-\sqrt{3}=\frac{r}{3}$，解得$r=3×(2-\sqrt{3})=6-3\sqrt{3}$。
【答案】
$6 - 3\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，切线的性质与切线长定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题综合考查矩形、圆的切线性质、等边三角形的性质及特殊角的三角函数，需灵活运用切线长定理和三角函数进行求解，对几何综合分析能力要求较高。
【难度系数】
0.3
设⊙O的半径为r，⊙O与BC相切于点F，连接OF、BO。
1. 因为△ABE为等边三角形，AB=3，所以BE=AB=3，∠ABE=60°。
2. 矩形ABCD中∠ABC=90°，故∠EBC=90°-60°=30°。
3. 由切线长定理，BE、BF为⊙O的两条切线，故BE=BF=3，BO平分∠EBC，即∠OBC=15°。
4. 因为⊙O与BC相切，所以OF⊥BC，OF=r，在Rt△BOF中，$\tan∠ OBC=\frac{OF}{BF}$。
5. 计算$\tan15°=\tan(45°-30°)=2-\sqrt{3}$，代入得$2-\sqrt{3}=\frac{r}{3}$，解得$r=3×(2-\sqrt{3})=6-3\sqrt{3}$。
【答案】
$6 - 3\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，切线的性质与切线长定理，特殊角的三角函数值
【点评】
本题综合考查矩形、圆的切线性质、等边三角形的性质及特殊角的三角函数，需灵活运用切线长定理和三角函数进行求解，对几何综合分析能力要求较高。
【难度系数】
0.3
5. 如图，四边形 ABCD 的边 AB，BC，CD，DA 和⊙O 都相切，且 AB = 10，CD = 15，则四边形 ABCD 的周长为(
A.40
B.45
C.50
D.60
C
)A.40
B.45
C.50
D.60
答案
5. C
解析
【解析】
根据切线长定理可知，圆的外切四边形的两组对边之和相等，即 $ AB + CD = AD + BC $。
已知 $ AB = 10 $，$ CD = 15 $，则 $ AD + BC = 10 + 15 = 25 $。
因此四边形 $ ABCD $ 的周长为 $ AB + BC + CD + DA = 10 + 15 + 25 = 50 $。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，圆外切四边形性质
【点评】
本题考查圆外切四边形的性质，熟练掌握由切线长定理推导的“圆外切四边形的两组对边之和相等”这一结论，是快速求解的关键。
【难度系数】
0.7
根据切线长定理可知，圆的外切四边形的两组对边之和相等，即 $ AB + CD = AD + BC $。
已知 $ AB = 10 $，$ CD = 15 $，则 $ AD + BC = 10 + 15 = 25 $。
因此四边形 $ ABCD $ 的周长为 $ AB + BC + CD + DA = 10 + 15 + 25 = 50 $。
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，圆外切四边形性质
【点评】
本题考查圆外切四边形的性质，熟练掌握由切线长定理推导的“圆外切四边形的两组对边之和相等”这一结论，是快速求解的关键。
【难度系数】
0.7
