8. 如图，客轮在海上以 $ 30 $ km/h 的速度由 $ B $ 向 $ C $ 航行，在 $ B $ 处测得灯塔 $ A $ 的方向角为北偏东 $ 80° $，测得 $ C $ 处的方向角为南偏东 $ 25° $，航行 $ 1 $ h 后到达 $ C $ 处，在 $ C $ 处测得 $ A $ 的方向角为北偏东 $ 20° $，则 $ C $ 到 $ A $ 的距离是()


A.$ 15\sqrt{6} $ km
B.$ 15\sqrt{2} $ km
C.$ 15(\sqrt{6} + \sqrt{2}) $ km
D.$ 5(\sqrt{6} + 3\sqrt{2}) $ km

8.D

【解析】
1. 由题意得，客轮航行1小时，速度为30km/h，故$BC=30$ km。
2. 根据方向角计算角度：
在$B$处，$∠ ABC=180° - 80° - 25°=75°$；
在$C$处，结合平行线性质，$∠ ACB=25° + 20°=45°$；
因此$∠ BAC=180° - 75° - 45°=60°$。
3. 由正弦定理$\frac{AC}{\sin∠ ABC}=\frac{BC}{\sin∠ BAC}$，代入数据：
$\sin75°=\sin(45°+30°)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$AC=\frac{BC·\sin75°}{\sin60°}=\frac{30×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=5(\sqrt{6}+3\sqrt{2})$ km。
【答案】
D
【知识点】
方向角的应用，正弦定理，两角和的正弦公式
【点评】
本题结合方向角考查解三角形，关键是准确计算三角形内角，灵活运用正弦定理与三角恒等变换公式求解，需要学生具备良好的角度分析和公式应用能力。
【难度系数】
0.4

9. 如图，一艘渔船位于小岛 $ B $ 的北偏东 $ 30° $ 方向，距离小岛 $ 40 $ nmile 的点 $ A $ 处，它沿着点 $ A $ 的南偏东 $ 15° $ 的方向航行。
（1）渔船航行多远距离离小岛 $ B $ 最近？（结果保留根号）
（2）渔船到达距离小岛 $ B $ 最近点后，按原航向继续航行 $ 20\sqrt{6} $ nmile 到点 $ C $ 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 $ B $ 上的救援队求救，问救援队从 $ B $ 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点的航程最短，最短航程是多少？（结果保留根号）

9.解:(1)过点B作$BM⊥ AC$于点M,由题意可知$∠ BAM=45°$,则$∠ ABM=45°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABM$中,
$\because ∠ BAM=45°$,$AB=40\ \mathrm{nmile}$,
$\therefore BM=AM=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=20\sqrt{2}(\mathrm{nmile})$,
$\therefore$渔船航行$20\sqrt{2}\ \mathrm{nmile}$距离小岛B最近.

(2)$\because BM=20\sqrt{2}\ \mathrm{nmile}$,$MC=20\sqrt{6}\ \mathrm{nmile}$,
$\therefore \tan∠ MBC=\frac{MC}{BM}=\frac{20\sqrt{6}}{20\sqrt{2}}=\sqrt{3}$,
$\therefore ∠ MBC=60°$,
$\therefore ∠ CBG=180°-60°-45°-30°=45°$.
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中,
$\because ∠ CBM=60°$,$BM=20\sqrt{2}\ \mathrm{nmile}$,
$\therefore BC=\frac{BM}{\cos60°}=2BM=40\sqrt{2}(\mathrm{nmile})$.
故救援队从B处出发沿点B的南偏东$45°$的方向航行到达事故地点的航程最短,最短航程是$40\sqrt{2}\ \mathrm{nmile}$.

【解析】
(1) 过点$B$作$BM⊥AC$于点$M$，此时渔船航行到点$M$时离小岛$B$最近。
由题意得$∠ BAM=30°+15°=45°$，在$\mathrm{Rt}△ABM$中，$∠ AMB=90°$，$∠ BAM=45°$，$AB=40$ nmile，因此$△ ABM$是等腰直角三角形。
根据等腰直角三角形的边长关系：$AM=BM=\frac{\sqrt{2}}{2}AB=\frac{\sqrt{2}}{2}×40=20\sqrt{2}$ nmile，即渔船航行$20\sqrt{2}$ nmile时离小岛$B$最近。
(2) 在$\mathrm{Rt}△BMC$中，已知$BM=20\sqrt{2}$ nmile，$MC=20\sqrt{6}$ nmile，
计算$\tan∠ MBC=\frac{MC}{BM}=\frac{20\sqrt{6}}{20\sqrt{2}}=\sqrt{3}$，故$∠ MBC=60°$。
由(1)知$∠ ABM=45°$，$∠ ABG=30°$，则$∠ MBG=∠ ABM+∠ ABG=75°$，
因此$∠ CBG=∠ MBG-∠ MBC=75°-60°=45°$。
在$\mathrm{Rt}△BMC$中，$\cos∠ MBC=\frac{BM}{BC}$，则$BC=\frac{BM}{\cos60°}=\frac{20\sqrt{2}}{\frac{1}{2}}=40\sqrt{2}$ nmile。
即救援队从$B$处出发沿南偏东$45°$方向航行，航程最短，最短航程为$40\sqrt{2}$ nmile。
【答案】
(1) 渔船航行$20\sqrt{2}$ nmile距离小岛$B$最近；
(2) 救援队从$B$处出发沿点$B$的南偏东$45°$方向航行到达事故地点的航程最短，最短航程是$40\sqrt{2}$ nmile。
【知识点】
1. 解直角三角形-方向角问题
2. 等腰直角三角形性质
3. 锐角三角函数定义
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合方向角确定角度，利用特殊角的三角函数值与直角三角形边角关系求解，需熟练掌握特殊角三角函数值及直角三角形的相关性质。
【难度系数】
0.6