灯塔为过往船只提供导航服务。为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动。
如图，一艘渔船自东向西以每小时 $ 10 $ 海里的速度向码头 $ A $ 航行，小组同学收集到以下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔 $ B $ 的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头 $ A $。（参考数据：$\sin 37° \approx 0.60$，$\cos 37° \approx 0.80$，$\tan 37° \approx 0.75$，$\sin 14° \approx 0.24$，$\cos 14° \approx 0.97$，$\tan 14° \approx 0.25$）

10.解:(1)如图,过点B作$BE⊥ AC$于点E,

设$BE=x$(海里),
依题意,$∠ EBC=53°$,$∠ EBD=45°$,
$CD=10×\frac{1}{2}=5$(海里),
$\therefore ∠ C=90°-∠ EBC=37°$,$ED=x$,
$\therefore EC=ED+DC=x+5$,
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$EC=\frac{BE}{\tan C}=\frac{x}{\tan37°}\approx\frac{x}{0.75}=\frac{4}{3}x$,
$\therefore \frac{4}{3}x=x+5$,
解得$x=15$.
$\therefore$渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离为15海里.
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,$∠ ABE=14°$,$BE=15$(海里),
$\therefore AE=BE·\tan14°\approx15×0.25=3.75$(海里),
$\therefore AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75$(海里),
$23.75÷10=2.375$(时)$=142.5$(分),
从14:30,经过142.5分钟是16:52:30,在17:30之前能到达码头A.
$\therefore$不改变航行速度,渔船能在浓雾到来前到达码头A.

【解析】
（1）如图，过点$B$作$BE⊥ AC$于点$E$，设$BE=x$海里。
由题意得，$CD=10×\frac{1}{2}=5$海里，$∠ EBC=53°$，$∠ EBD=45°$，则$∠ C=90°-∠ EBC=37°$，$ED=x$，故$EC=ED+DC=x+5$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$EC=\frac{BE}{\tan C}\approx\frac{x}{0.75}=\frac{4}{3}x$，因此$\frac{4}{3}x=x+5$，解得$x=15$，即渔船到灯塔$B$的最短距离为15海里。
（2）在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ ABE=14°$，$BE=15$海里，
则$AE=BE·\tan14°\approx15×0.25=3.75$海里，
所以$AC=AE+DE+DC=3.75+15+5=23.75$海里，
渔船航行时间为$23.75÷10=2.375$小时$=142.5$分钟，
从14:30经过142.5分钟是16:52:30，早于17:30，故渔船能在浓雾到来前到达码头$A$。
【答案】
（1）15海里；（2）能在浓雾到来前到达码头$A$。
【知识点】
解直角三角形的实际应用，行程问题公式
【点评】
本题结合航海场景考查解直角三角形的实际应用，需灵活运用三角函数定义构建等式，同时结合行程公式判断时间，关键是通过作垂线构造直角三角形转化问题。
【难度系数】
0.6