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1. 在$△ ABC$中，已知$∠ C = 60°$，$AC = 4\sqrt{3}$，则$BC$边上的高为(
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6$
D
)A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$6$
答案
1. D
解析
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D，则AD为BC边上的高。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°，AC=4√3，
根据正弦函数的定义：sinC = $\frac{AD}{AC}$，
则AD = AC·sin60° = $4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 6。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形边角关系，特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的应用，通过作高构造直角三角形，利用特殊角的正弦值求解高，关键是掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
过点A作AD⊥BC于点D，则AD为BC边上的高。
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，∠C=60°，AC=4√3，
根据正弦函数的定义：sinC = $\frac{AD}{AC}$，
则AD = AC·sin60° = $4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$ = 6。
【答案】
D
【知识点】
直角三角形边角关系，特殊角的三角函数值
【点评】
本题考查直角三角形中三角函数的应用，通过作高构造直角三角形，利用特殊角的正弦值求解高，关键是掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
2. 已知锐角$△ ABC$的面积为$3\sqrt{3}$，$BC = 4$，$CA = 3$，则$∠ C$的大小为(
A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
B
)A.$75°$
B.$60°$
C.$45°$
D.$30°$
答案
2. B
解析
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}BC· CA· \sin C$，已知$S=3\sqrt{3}$，$BC=4$，$CA=3$，代入得：
$3\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4×3×\sin C$
化简得$3\sqrt{3}=6\sin C$，解得$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$△ ABC$是锐角三角形，$∠ C$为锐角，所以$∠ C=60°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积公式，特殊角三角函数值
【点评】
本题考查三角形面积公式与特殊角三角函数值的应用，需熟练掌握含两边及夹角的三角形面积公式，结合锐角三角形的性质确定角的大小。
【难度系数】
0.7
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}BC· CA· \sin C$，已知$S=3\sqrt{3}$，$BC=4$，$CA=3$，代入得：
$3\sqrt{3}=\frac{1}{2}×4×3×\sin C$
化简得$3\sqrt{3}=6\sin C$，解得$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因为$△ ABC$是锐角三角形，$∠ C$为锐角，所以$∠ C=60°$。
【答案】
B
【知识点】
三角形面积公式，特殊角三角函数值
【点评】
本题考查三角形面积公式与特殊角三角函数值的应用，需熟练掌握含两边及夹角的三角形面积公式，结合锐角三角形的性质确定角的大小。
【难度系数】
0.7
3. 如图，若$△ ABC$和$△ DEF$的面积分别为$S_{1}$，$S_{2}$，则(
A.$S_{1} = \frac{1}{2}S_{2}$
B.$S_{1} = \frac{7}{2}S_{2}$
C.$S_{1} = S_{2}$
D.$S_{1} = \frac{8}{5}S_{2}$
C
)A.$S_{1} = \frac{1}{2}S_{2}$
B.$S_{1} = \frac{7}{2}S_{2}$
C.$S_{1} = S_{2}$
D.$S_{1} = \frac{8}{5}S_{2}$
答案
3. C
解析
【解析】
过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$，过点$D$作$DH ⊥ FE$交$FE$的延长线于点$H$。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$AG = AB·\sin50° = 5\sin50°$，
则$S_{1} = \frac{1}{2} × BC × AG = \frac{1}{2} × 8 × 5\sin50° = 20\sin50°$。
因为$∠ DEF = 130°$，所以$∠ DEH = 180° - 130° = 50°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEH$中，$DH = DE·\sin50° = 5\sin50°$，
则$S_{2} = \frac{1}{2} × EF × DH = \frac{1}{2} × 8 × 5\sin50° = 20\sin50°$。
所以$S_{1}=S_{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积公式，锐角三角函数，邻补角性质
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数表示三角形的高，进而计算面积并比较，考查了对三角形面积公式和三角函数的灵活运用，提升几何计算与推理能力。
【难度系数】
0.6
过点$A$作$AG ⊥ BC$于点$G$，过点$D$作$DH ⊥ FE$交$FE$的延长线于点$H$。
在$\mathrm{Rt}△ ABG$中，$AG = AB·\sin50° = 5\sin50°$，
则$S_{1} = \frac{1}{2} × BC × AG = \frac{1}{2} × 8 × 5\sin50° = 20\sin50°$。
因为$∠ DEF = 130°$，所以$∠ DEH = 180° - 130° = 50°$，
在$\mathrm{Rt}△ DEH$中，$DH = DE·\sin50° = 5\sin50°$，
则$S_{2} = \frac{1}{2} × EF × DH = \frac{1}{2} × 8 × 5\sin50° = 20\sin50°$。
所以$S_{1}=S_{2}$。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积公式，锐角三角函数，邻补角性质
【点评】
本题通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数表示三角形的高，进而计算面积并比较，考查了对三角形面积公式和三角函数的灵活运用，提升几何计算与推理能力。
【难度系数】
0.6
4. 在$△ ABC$中，已知$∠ C = 60°$，$AC = 4\sqrt{3}$，$BC = 2$，则$△ ABC$的面积为
6
.答案
4. 6
解析
【解析】
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（其中$a,b$为三角形两边，$C$为$a,b$的夹角），已知$∠C=60°$，$AC=4\sqrt{3}$，$BC=2$，代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC×\sin∠C=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2×\sin60°$
因为$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$
【答案】
6
【知识点】
三角形面积公式（两边及夹角）、特殊角的三角函数值
【点评】
本题主要考查三角形面积公式的应用及特殊角三角函数值的计算，属于基础题，解题关键是准确运用两边及夹角的面积公式并牢记特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab\sin C$（其中$a,b$为三角形两边，$C$为$a,b$的夹角），已知$∠C=60°$，$AC=4\sqrt{3}$，$BC=2$，代入得：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC×\sin∠C=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2×\sin60°$
因为$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以：
$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}=6$
【答案】
6
【知识点】
三角形面积公式（两边及夹角）、特殊角的三角函数值
【点评】
本题主要考查三角形面积公式的应用及特殊角三角函数值的计算，属于基础题，解题关键是准确运用两边及夹角的面积公式并牢记特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
5. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = 6$，$\cos B = \frac{1}{3}$，则$△ ABC$的面积为
$ 4\sqrt{2} $
.答案
5. $ 4\sqrt{2} $
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
由$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{3}$，$AB = 6$，可得：
$BC = AB · \cos B = 6 × \frac{1}{3} = 2$，
根据勾股定理计算$AC$：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
则$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AC = \frac{1}{2} × 2 × 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
锐角三角函数、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题考查直角三角形中边角关系的综合应用，需熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，通过已知条件逐步推导求解。
【难度系数】
0.7
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，
由$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{3}$，$AB = 6$，可得：
$BC = AB · \cos B = 6 × \frac{1}{3} = 2$，
根据勾股定理计算$AC$：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$，
则$△ ABC$的面积为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} · BC · AC = \frac{1}{2} × 2 × 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
锐角三角函数、勾股定理、三角形面积公式
【点评】
本题考查直角三角形中边角关系的综合应用，需熟练掌握锐角三角函数定义、勾股定理及三角形面积公式，通过已知条件逐步推导求解。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AB = c$，$AC = b$，$BC = a$，则下列说法正确的是
①$S = \frac{1}{2}ab$
②$S = \frac{1}{2}bc·\cos A$
③$S = \frac{1}{2}ac·\sin A$
④$S = \frac{1}{2}b^{2}·\tan A$
①④
.①$S = \frac{1}{2}ab$
②$S = \frac{1}{2}bc·\cos A$
③$S = \frac{1}{2}ac·\sin A$
④$S = \frac{1}{2}b^{2}·\tan A$
答案
6. ①④
解析
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，面积$S=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}ab$，故①正确；
对于②：$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$，则$\frac{1}{2}bc·\cos A=\frac{1}{2}bc·\frac{b}{c}=\frac{1}{2}b^2$，不是三角形面积，故②错误；
对于③：$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$，则$\frac{1}{2}ac·\sin A=\frac{1}{2}ac·\frac{a}{c}=\frac{1}{2}a^2$，不是三角形面积，故③错误；
对于④：$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$，则$a=b·\tan A$，代入面积公式得$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}b·b·\tan A=\frac{1}{2}b^2·\tan A$，故④正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
直角三角形面积公式，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查直角三角形的面积计算与锐角三角函数的应用，需熟练掌握三角函数的定义，通过代入计算逐一判断选项的正误。
【难度系数】
0.6
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90°$，面积$S=\frac{1}{2}AC·BC=\frac{1}{2}ab$，故①正确；
对于②：$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$，则$\frac{1}{2}bc·\cos A=\frac{1}{2}bc·\frac{b}{c}=\frac{1}{2}b^2$，不是三角形面积，故②错误；
对于③：$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{c}$，则$\frac{1}{2}ac·\sin A=\frac{1}{2}ac·\frac{a}{c}=\frac{1}{2}a^2$，不是三角形面积，故③错误；
对于④：$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{a}{b}$，则$a=b·\tan A$，代入面积公式得$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}b·b·\tan A=\frac{1}{2}b^2·\tan A$，故④正确。
综上，正确的是①④。
【答案】
①④
【知识点】
直角三角形面积公式，锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查直角三角形的面积计算与锐角三角函数的应用，需熟练掌握三角函数的定义，通过代入计算逐一判断选项的正误。
【难度系数】
0.6
