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10. (16分)李老师在课堂上提出这样一个问题：解方程：$\frac{3}{5}(2x + 5) - 1 = 4 - \frac{1}{5}(2x + 5)$。小亮认为本题可设$y = 2x + 5$,因而原方程可化为$\frac{3}{5}y - 1 = 4 - \frac{1}{5}y$,只要求出$y$的值,即可求出$x$的值。
(1)根据小亮的思路,求得$y = $______,进而求得$x = $______；
(2)利用上述方法解方程：$\frac{9x + 2}{5} - \frac{9x + 2}{3} = \frac{18x + 4}{5} - \frac{8}{15}$。
(1)根据小亮的思路,求得$y = $______,进而求得$x = $______；
(2)利用上述方法解方程：$\frac{9x + 2}{5} - \frac{9x + 2}{3} = \frac{18x + 4}{5} - \frac{8}{15}$。
答案
(1)$\frac{25}{4}$ $\frac{5}{8}$
(2)设9x+2=y,原方程转化为$\frac{y}{5}-\frac{y}{3}=\frac{2y}{5}-\frac{8}{15}$.
去分母,得3y-5y=6y-8.
移项,得3y-5y-6y=-8.
合并同类项,得-8y=-8.
系数化为1,得y=1.
故9x+2=1,移项,得9x=1-2.
合并同类项,得9x=-1.
系数化为1,得$x=-\frac{1}{9}$.
解析
【分析】
(1) 本题采用整体换元的思路，将重复出现的整式$2x+5$设为$y$，把原方程转化为只含$y$的一元一次方程，先移项将含$y$的项移到等号左侧、常数项移到右侧，合并同类项后系数化为1得到$y$的值，再代入$y=2x+5$反解$x$即可。
(2) 观察方程可发现$18x+4=2(9x+2)$，因此可设$y=9x+2$，将原方程转化为只含$y$的一元一次方程，先通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求出$y$的值，再代入$y=9x+2$求解$x$，换元法可以简化含$x$的分数计算，降低出错率。
【解析】
(1) 设$y=2x+5$，原方程化为$\frac{3}{5}y - 1 = 4 - \frac{1}{5}y$
移项，得$\frac{3}{5}y + \frac{1}{5}y = 4 + 1$
合并同类项，得$\frac{4}{5}y = 5$
系数化为1，得$y = \frac{25}{4}$
将$y = \frac{25}{4}$代入$y=2x+5$，得$2x + 5 = \frac{25}{4}$
移项计算得$2x = \frac{25}{4} - \frac{20}{4} = \frac{5}{4}$
系数化为1，得$x = \frac{5}{8}$
(2) 观察到$18x+4=2(9x+2)$，设$y=9x+2$，原方程转化为：
$\frac{y}{5} - \frac{y}{3} = \frac{2y}{5} - \frac{8}{15}$
两边同乘15去分母，得$3y - 5y = 6y - 8$
移项，得$3y - 5y - 6y = -8$
合并同类项，得$-8y = -8$
系数化为1，得$y = 1$
将$y=1$代入$y=9x+2$，得$9x + 2 = 1$
移项合并同类项得$9x = -1$
系数化为1，得$x = -\frac{1}{9}$
【答案】
(1) $\frac{25}{4}$；$\frac{5}{8}$
(2) $x=-\frac{1}{9}$
【知识点】
换元法；解一元一次方程；整体思想
【点评】
本题重点考查换元法在一元一次方程求解中的应用，通过将方程中重复出现的整式整体设为新未知数，能简化分数运算，减少计算错误。解题的关键是观察方程的结构特征，准确找到可替换的整体部分，灵活运用整体思想降低解题难度。
【难度系数】
0.7
(1) 本题采用整体换元的思路，将重复出现的整式$2x+5$设为$y$，把原方程转化为只含$y$的一元一次方程，先移项将含$y$的项移到等号左侧、常数项移到右侧，合并同类项后系数化为1得到$y$的值，再代入$y=2x+5$反解$x$即可。
(2) 观察方程可发现$18x+4=2(9x+2)$，因此可设$y=9x+2$，将原方程转化为只含$y$的一元一次方程，先通过去分母、移项、合并同类项、系数化为1求出$y$的值，再代入$y=9x+2$求解$x$，换元法可以简化含$x$的分数计算，降低出错率。
【解析】
(1) 设$y=2x+5$，原方程化为$\frac{3}{5}y - 1 = 4 - \frac{1}{5}y$
移项，得$\frac{3}{5}y + \frac{1}{5}y = 4 + 1$
合并同类项，得$\frac{4}{5}y = 5$
系数化为1，得$y = \frac{25}{4}$
将$y = \frac{25}{4}$代入$y=2x+5$，得$2x + 5 = \frac{25}{4}$
移项计算得$2x = \frac{25}{4} - \frac{20}{4} = \frac{5}{4}$
系数化为1，得$x = \frac{5}{8}$
(2) 观察到$18x+4=2(9x+2)$，设$y=9x+2$，原方程转化为：
$\frac{y}{5} - \frac{y}{3} = \frac{2y}{5} - \frac{8}{15}$
两边同乘15去分母，得$3y - 5y = 6y - 8$
移项，得$3y - 5y - 6y = -8$
合并同类项，得$-8y = -8$
系数化为1，得$y = 1$
将$y=1$代入$y=9x+2$，得$9x + 2 = 1$
移项合并同类项得$9x = -1$
系数化为1，得$x = -\frac{1}{9}$
【答案】
(1) $\frac{25}{4}$；$\frac{5}{8}$
(2) $x=-\frac{1}{9}$
【知识点】
换元法；解一元一次方程；整体思想
【点评】
本题重点考查换元法在一元一次方程求解中的应用，通过将方程中重复出现的整式整体设为新未知数，能简化分数运算，减少计算错误。解题的关键是观察方程的结构特征，准确找到可替换的整体部分，灵活运用整体思想降低解题难度。
【难度系数】
0.7
11. (20分)2023年12月份,某商场用22500元购进甲、乙两个品牌取暖器共400台,已知甲品牌取暖器每台进价为50元,售价为70元,乙品牌取暖器每台进价为60元,售价为90元。
(1)求2023年12月份该商场两个品牌取暖器各购进多少台；
(2)由于2023年冬天天气寒冷,取暖器供不应求,商场决定对这两个品牌的取暖器的售价进行调整,假使这次购进的取暖器全部售完,则商场可获利60%。已知乙品牌取暖器在原售价基础上提高5%,则甲品牌取暖器调整后每台售价为多少元？
(1)求2023年12月份该商场两个品牌取暖器各购进多少台；
(2)由于2023年冬天天气寒冷,取暖器供不应求,商场决定对这两个品牌的取暖器的售价进行调整,假使这次购进的取暖器全部售完,则商场可获利60%。已知乙品牌取暖器在原售价基础上提高5%,则甲品牌取暖器调整后每台售价为多少元？
答案
(1)设2023年12月份该商场购进甲品牌取暖器x台,
则购进乙品牌取暖器(400-x)台.
依题意,得50x+60(400-x)=22500.
解得x=150,则400-x=250.
答:2023年12月份购进甲品牌取暖器150台,购进乙品牌取暖器250台.
(2)设甲品牌取暖器调整后每台售价为y元.
乙品牌取暖器调整后的售价为90×(1+5%)=94.5(元).
依题意,得$\frac{(150y+250×94.5)-22500}{22500}×100\% =60\% $.
解得y=82.5.
答:甲品牌取暖器调整后每台售价为82.5元.
解析
【分析】
(1) 第一问已知两种取暖器的总购进数量、总进价，以及单台进价，我们可以设甲品牌取暖器购进数量为未知数，用总数量减去未知数表示乙品牌的购进数量，再根据“甲总进价+乙总进价=总购进成本”的等量关系列一元一次方程求解。
(2) 第二问属于销售调价问题，已知总利润率和乙品牌的调价规则，先计算出乙品牌调整后的售价，再设甲品牌调整后售价为未知数，根据“(总售价-总进价)÷总进价=利润率”的利润公式列方程，求解即可得到甲的调整后售价。
【解析】
(1) 设2023年12月份该商场购进甲品牌取暖器$x$台，则购进乙品牌取暖器$(400-x)$台。
依题意列方程：
$50x+60(400-x)=22500$
展开得：$50x+24000-60x=22500$
移项合并同类项得：$-10x=-1500$
解得：$x=150$
则乙品牌购进数量为：$400-150=250$（台）
(2) 设甲品牌取暖器调整后每台售价为$y$元。
先计算乙品牌调整后的售价：$90×(1+5\%)=94.5$（元）
依题意列方程：
$\frac{(150y+250×94.5)-22500}{22500}×100\% =60\%$
等式两边同乘22500得：$150y+23625-22500=13500$
化简计算得：$150y=12375$
解得：$y=82.5$
【答案】
(1) 2023年12月份购进甲品牌取暖器150台，购进乙品牌取暖器250台；
(2) 甲品牌取暖器调整后每台售价为82.5元。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题以生活消费场景为背景，考察学生提取等量关系、用方程解决实际问题的能力，解题核心是找准总进价、利润率对应的等量关系，整体逻辑清晰，贴合实际应用需求。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问已知两种取暖器的总购进数量、总进价，以及单台进价，我们可以设甲品牌取暖器购进数量为未知数，用总数量减去未知数表示乙品牌的购进数量，再根据“甲总进价+乙总进价=总购进成本”的等量关系列一元一次方程求解。
(2) 第二问属于销售调价问题，已知总利润率和乙品牌的调价规则，先计算出乙品牌调整后的售价，再设甲品牌调整后售价为未知数，根据“(总售价-总进价)÷总进价=利润率”的利润公式列方程，求解即可得到甲的调整后售价。
【解析】
(1) 设2023年12月份该商场购进甲品牌取暖器$x$台，则购进乙品牌取暖器$(400-x)$台。
依题意列方程：
$50x+60(400-x)=22500$
展开得：$50x+24000-60x=22500$
移项合并同类项得：$-10x=-1500$
解得：$x=150$
则乙品牌购进数量为：$400-150=250$（台）
(2) 设甲品牌取暖器调整后每台售价为$y$元。
先计算乙品牌调整后的售价：$90×(1+5\%)=94.5$（元）
依题意列方程：
$\frac{(150y+250×94.5)-22500}{22500}×100\% =60\%$
等式两边同乘22500得：$150y+23625-22500=13500$
化简计算得：$150y=12375$
解得：$y=82.5$
【答案】
(1) 2023年12月份购进甲品牌取暖器150台，购进乙品牌取暖器250台；
(2) 甲品牌取暖器调整后每台售价为82.5元。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润问题
【点评】
本题以生活消费场景为背景，考察学生提取等量关系、用方程解决实际问题的能力，解题核心是找准总进价、利润率对应的等量关系，整体逻辑清晰，贴合实际应用需求。
【难度系数】
0.7
