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1. 在$□ ABCD$中，若$∠ A+∠ C=100°$，则$∠ A$为()
A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$130°$
A.$50°$
B.$80°$
C.$100°$
D.$130°$
答案
A
解析
【分析】
首先回忆平行四边形的核心性质，平行四边形的对角是相等的，即∠A=∠C。题目已知∠A+∠C=100°，把∠C替换为∠A后，就得到关于∠A的一元一次方程，通过解方程就能求出∠A的度数。
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠A=∠C$（平行四边形的对角相等）。
又
∵$∠A+∠C=100°$，
∴$2∠A=100°$，
解得$∠A=50°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，难度较低，只要牢记平行四边形对角相等的性质，就能通过简单的计算得出结果，适合巩固平行四边形的基础知识点。
【难度系数】
0.9
首先回忆平行四边形的核心性质，平行四边形的对角是相等的，即∠A=∠C。题目已知∠A+∠C=100°，把∠C替换为∠A后，就得到关于∠A的一元一次方程，通过解方程就能求出∠A的度数。
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$∠A=∠C$（平行四边形的对角相等）。
又
∵$∠A+∠C=100°$，
∴$2∠A=100°$，
解得$∠A=50°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，难度较低，只要牢记平行四边形对角相等的性质，就能通过简单的计算得出结果，适合巩固平行四边形的基础知识点。
【难度系数】
0.9
2. 在$□ ABCD$中，若$∠ A-∠ B=50°$，则$∠ C$为()
A.$50°$
B.$65°$
C.$115°$
D.$130°$
A.$50°$
B.$65°$
C.$115°$
D.$130°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需结合平行四边形的核心性质思考：首先，平行四边形的邻角互补（即相邻的∠A和∠B之和为180°，因为AD//BC，同旁内角互补）；其次，平行四边形的对角相等（∠C与∠A是对角，故∠C=∠A）。已知∠A-∠B=50°，可联立邻角互补的等式，先求出∠A的度数，进而得到∠C的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠C=∠A（平行四边形对角相等，对边平行），
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠A-∠B=50°，
将上述两个等式相加：(∠A+∠B)+(∠A-∠B)=180°+50°，
即2∠A=230°，解得∠A=115°，
∵∠C=∠A，
∴∠C=115°，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题关键在于熟练运用“邻角互补”建立角度间的等量关系，联立已知条件求解角度，再结合“对角相等”得到目标角的度数，整体难度较低，需牢记平行四边形的核心性质。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需结合平行四边形的核心性质思考：首先，平行四边形的邻角互补（即相邻的∠A和∠B之和为180°，因为AD//BC，同旁内角互补）；其次，平行四边形的对角相等（∠C与∠A是对角，故∠C=∠A）。已知∠A-∠B=50°，可联立邻角互补的等式，先求出∠A的度数，进而得到∠C的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠C=∠A（平行四边形对角相等，对边平行），
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补），
又
∵∠A-∠B=50°，
将上述两个等式相加：(∠A+∠B)+(∠A-∠B)=180°+50°，
即2∠A=230°，解得∠A=115°，
∵∠C=∠A，
∴∠C=115°，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形邻角互补；平行四边形对角相等
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题型，解题关键在于熟练运用“邻角互补”建立角度间的等量关系，联立已知条件求解角度，再结合“对角相等”得到目标角的度数，整体难度较低，需牢记平行四边形的核心性质。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$□ ABCD$中，$AB=3$，$BC=5$，$∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$，交$CD$的延长线于点$F$，则$ED$的长为，$DF$的长为.
答案
2
2
2
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以结合平行四边形的性质与角平分线的性质，通过转化角的关系得到等腰三角形，进而计算线段长度：
1. 先根据平行四边形对边平行且相等的性质，确定AD=BC=5，AB=CD=3，AD//BC，AB//CD；
2. 计算ED：利用角平分线和平行线的内错角相等，推导∠ABE=∠AEB，得到等腰△ABE，得出AE=AB=3，再用AD减去AE得到ED的长度；
3. 计算DF：利用平行线的内错角相等和角平分线的性质，推导∠F=∠FBC，得到等腰△FBC，得出FC=BC=5，再用FC减去CD得到DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC=5$，$AB// CD$，$AB=CD=3$。
①求$ED$的长：
∵BF平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠FBC$。
∵$AD// BC$，
∴$∠AEB=∠FBC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ABE=∠AEB$，
∴$AE=AB=3$，
∴$ED=AD - AE=5 - 3=2$。
②求$DF$的长：
∵$AB// CD$，
∴$∠F=∠ABE$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$∠ABE=∠FBC$，
∴$∠F=∠FBC$，
∴$FC=BC=5$，
∵$CD=3$，
∴$DF=FC - CD=5 - 3=2$。
【答案】
2；2
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质与等腰三角形判定的综合运用，解题核心是利用平行线的性质实现角的转化，从而得到等腰三角形，借助等腰三角形的边相等关系计算线段长度，需要熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以结合平行四边形的性质与角平分线的性质，通过转化角的关系得到等腰三角形，进而计算线段长度：
1. 先根据平行四边形对边平行且相等的性质，确定AD=BC=5，AB=CD=3，AD//BC，AB//CD；
2. 计算ED：利用角平分线和平行线的内错角相等，推导∠ABE=∠AEB，得到等腰△ABE，得出AE=AB=3，再用AD减去AE得到ED的长度；
3. 计算DF：利用平行线的内错角相等和角平分线的性质，推导∠F=∠FBC，得到等腰△FBC，得出FC=BC=5，再用FC减去CD得到DF的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD// BC$，$AD=BC=5$，$AB// CD$，$AB=CD=3$。
①求$ED$的长：
∵BF平分$∠ABC$，
∴$∠ABE=∠FBC$。
∵$AD// BC$，
∴$∠AEB=∠FBC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ABE=∠AEB$，
∴$AE=AB=3$，
∴$ED=AD - AE=5 - 3=2$。
②求$DF$的长：
∵$AB// CD$，
∴$∠F=∠ABE$（两直线平行，内错角相等）。
又
∵$∠ABE=∠FBC$，
∴$∠F=∠FBC$，
∴$FC=BC=5$，
∵$CD=3$，
∴$DF=FC - CD=5 - 3=2$。
【答案】
2；2
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题考查平行四边形性质与等腰三角形判定的综合运用，解题核心是利用平行线的性质实现角的转化，从而得到等腰三角形，借助等腰三角形的边相等关系计算线段长度，需要熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质。
【难度系数】
0.6
4. 在$□ ABCD$中，按如图所示的方式摆放一副三角板，若$∠ 1=30°$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_°$.
答案
75
解析
【分析】
本题可先利用平行四边形对边平行的性质，结合三角板的固定角度来推导∠2的度数。因为平行四边形对边平行，再结合图中三角板的摆放，可得出∠2与∠1、三角板45°角的数量关系，代入∠1的度数即可求解。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$（平行四边形的对边平行）。
根据平行线的性质及三角板的角度特征，可得$∠ 2 = ∠ 1 + 45°$。
又
∵ $∠ 1=30°$，
∴ $∠ 2=30° + 45°=75°$。
【答案】
75
【知识点】
平行四边形性质；平行线性质；特殊角的度数
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与三角板角度的综合应用，解题关键是熟练运用平行四边形对边平行的性质，准确识别图中角的数量关系。
【难度系数】
0.6
本题可先利用平行四边形对边平行的性质，结合三角板的固定角度来推导∠2的度数。因为平行四边形对边平行，再结合图中三角板的摆放，可得出∠2与∠1、三角板45°角的数量关系，代入∠1的度数即可求解。
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB// CD$（平行四边形的对边平行）。
根据平行线的性质及三角板的角度特征，可得$∠ 2 = ∠ 1 + 45°$。
又
∵ $∠ 1=30°$，
∴ $∠ 2=30° + 45°=75°$。
【答案】
75
【知识点】
平行四边形性质；平行线性质；特殊角的度数
【点评】
本题主要考查平行四边形性质与三角板角度的综合应用，解题关键是熟练运用平行四边形对边平行的性质，准确识别图中角的数量关系。
【难度系数】
0.6
5. 如图，在$□ ABCD$中，$AE⊥ BC$，垂足为$E$，$AF⊥ CD$，垂足为$F$.若$AE=4$，$AF=6$，且$□ ABCD$的周长为$40$，求$□ ABCD$的面积.
答案
解：由面积法，可得BC：CD=6：4，
∵四边形ABCD是平行四边形
∴设AB=CD=4x，AD=BC=6x
∴2(4x+6x)=40
解得：x=2
则AD=6x=12
∴$S_{▱ABCD}=12×4=48$
∵四边形ABCD是平行四边形
∴设AB=CD=4x，AD=BC=6x
∴2(4x+6x)=40
解得：x=2
则AD=6x=12
∴$S_{▱ABCD}=12×4=48$
解析
【分析】
要计算平行四边形的面积，已知两组高的长度，可利用平行四边形面积的两种表示方法（$S_{▱ABCD}=BC×AE=CD×AF$）建立邻边的比例关系；再结合平行四边形对边相等、周长为40的条件，通过设未知数列方程求出边长，最后代入面积公式计算即可。具体思路：先通过面积相等得到邻边的比例，再根据周长公式列方程求解边长，最终计算面积。
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AD=BC$，且$S_{▱ABCD}=BC· AE=CD· AF$。
已知$AE=4$，$AF=6$，则$4BC=6CD$，即$BC:CD=6:4=3:2$。
设$AB=CD=4x$，$AD=BC=6x$。
∵平行四边形$ABCD$的周长为40，根据周长公式可得：
$2(AB+BC)=40$，即$2(4x+6x)=40$，
化简得$20x=40$，解得$x=2$。
则$BC=6x=6×2=12$。
∴$S_{▱ABCD}=BC· AE=12×4=48$。
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的面积；比例的应用
【点评】
本题考查平行四边形的面积与周长的综合应用，核心是利用“面积法”推导邻边的比例关系，结合周长公式通过方程思想求出边长，体现了几何与代数的结合，熟练掌握平行四边形的基本公式是解题关键。
【难度系数】
0.6
要计算平行四边形的面积，已知两组高的长度，可利用平行四边形面积的两种表示方法（$S_{▱ABCD}=BC×AE=CD×AF$）建立邻边的比例关系；再结合平行四边形对边相等、周长为40的条件，通过设未知数列方程求出边长，最后代入面积公式计算即可。具体思路：先通过面积相等得到邻边的比例，再根据周长公式列方程求解边长，最终计算面积。
【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB=CD$，$AD=BC$，且$S_{▱ABCD}=BC· AE=CD· AF$。
已知$AE=4$，$AF=6$，则$4BC=6CD$，即$BC:CD=6:4=3:2$。
设$AB=CD=4x$，$AD=BC=6x$。
∵平行四边形$ABCD$的周长为40，根据周长公式可得：
$2(AB+BC)=40$，即$2(4x+6x)=40$，
化简得$20x=40$，解得$x=2$。
则$BC=6x=6×2=12$。
∴$S_{▱ABCD}=BC· AE=12×4=48$。
【答案】
$\boldsymbol{48}$
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的面积；比例的应用
【点评】
本题考查平行四边形的面积与周长的综合应用，核心是利用“面积法”推导邻边的比例关系，结合周长公式通过方程思想求出边长，体现了几何与代数的结合，熟练掌握平行四边形的基本公式是解题关键。
【难度系数】
0.6
