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9. 为对比节水龙头的节水效果，某家庭分别对“未使用节水龙头”和“使用节水龙头”两种状态各进行了50天的日用水量记录，列出频数分布表如下.
表1 未使用节水龙头时50天日用水量频数分布表
|日用水量x/m³|频数|
|----|----|
|0≤x＜0.1|1|
|0.1≤x＜0.2|3|
|0.2≤x＜0.3|2|
|0.3≤x＜0.4|4|
|0.4≤x＜0.5|9|
|0.5≤x＜0.6|26|
|0.6≤x＜0.7|5|
表2 使用节水龙头时50天日用水量频数分布表
|日用水量x/m³|频数|
|----|----|
|0≤x＜0.1|1|
|0.1≤x＜0.2|5|
|0.2≤x＜0.3|13|
|0.3≤x＜0.4|10|
|0.4≤x＜0.5|16|
|0.5≤x＜0.6|5|
（1）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3 m³的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水.（一年按365天计算）
表1 未使用节水龙头时50天日用水量频数分布表
|日用水量x/m³|频数|
|----|----|
|0≤x＜0.1|1|
|0.1≤x＜0.2|3|
|0.2≤x＜0.3|2|
|0.3≤x＜0.4|4|
|0.4≤x＜0.5|9|
|0.5≤x＜0.6|26|
|0.6≤x＜0.7|5|
表2 使用节水龙头时50天日用水量频数分布表
|日用水量x/m³|频数|
|----|----|
|0≤x＜0.1|1|
|0.1≤x＜0.2|5|
|0.2≤x＜0.3|13|
|0.3≤x＜0.4|10|
|0.4≤x＜0.5|16|
|0.5≤x＜0.6|5|
（1）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.3 m³的概率；
（2）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水.（一年按365天计算）
答案
解：(1) 由表 2 可知，使用后，50 天日用水量小于 0.3 的频数：
1+5+13=19，
50 天日用水量小于$0.3\ \mathrm {m^3}$的频率$=\frac {19}{50}$，估计频率为$\frac {19}{50}$。
(2) 方法不唯一。如估算时，同一组中的数据可以选用这组数据所
在范围的组中值作为代表。该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量
平均数为$0.48\ \mathrm {m^3}$，该家庭使用节水龙头 50 天日用水量平均数
为$0.35\ \mathrm {m^3}$，估计使用节水龙头后，一年可节水：
$(0.48 - 0.35)×365 = 47.45(\mathrm {m^3})$。
1+5+13=19，
50 天日用水量小于$0.3\ \mathrm {m^3}$的频率$=\frac {19}{50}$，估计频率为$\frac {19}{50}$。
(2) 方法不唯一。如估算时，同一组中的数据可以选用这组数据所
在范围的组中值作为代表。该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量
平均数为$0.48\ \mathrm {m^3}$，该家庭使用节水龙头 50 天日用水量平均数
为$0.35\ \mathrm {m^3}$，估计使用节水龙头后，一年可节水：
$(0.48 - 0.35)×365 = 47.45(\mathrm {m^3})$。
解析
【分析】
1. 对于第(1)问：根据概率的统计定义，当试验次数足够多时，频率可近似估计概率。我们需要先从使用节水龙头的频数分布表中，找出日用水量小于0.3m³的所有组的频数，求和得到符合条件的天数，再除以总天数50得到频率，该频率即为概率的估计值。
2. 对于第(2)问：要计算一年节省的水量，需先分别计算未使用和使用节水龙头时的日平均用水量。计算平均用水量时，用每组的组中值作为该组数据的代表，乘以对应频数后求和，再除以总天数50得到日均用水量；接着求出两种状态下日均用水量的差值，最后乘以一年的天数365，即可得到一年节省的水量。
【解析】
(1) 由表2可知，使用节水龙头后，日用水量小于$0.3\ \mathrm{m^3}$的频数为：
$1+5+13=19$
总试验天数为50天，因此日用水量小于$0.3\ \mathrm{m^3}$的频率为$\frac{19}{50}$，根据频率估计概率，可得该家庭使用节水龙头后，日用水量小于$0.3\ \mathrm{m^3}$的概率估计值为$\frac{19}{50}$。
(2) ① 计算未使用节水龙头时50天日用水量的平均数：
每组的组中值依次为$0.05\ \mathrm{m^3}$、$0.15\ \mathrm{m^3}$、$0.25\ \mathrm{m^3}$、$0.35\ \mathrm{m^3}$、$0.45\ \mathrm{m^3}$、$0.55\ \mathrm{m^3}$、$0.65\ \mathrm{m^3}$，
则平均数$\bar{x}_1=\frac{0.05×1 + 0.15×3 + 0.25×2 + 0.35×4 + 0.45×9 + 0.55×26 + 0.65×5}{50}$
$=\frac{0.05 + 0.45 + 0.5 + 1.4 + 4.05 + 14.3 + 3.25}{50}=\frac{24}{50}=0.48\ \mathrm{m^3}$
② 计算使用节水龙头时50天日用水量的平均数：
每组的组中值依次为$0.05\ \mathrm{m^3}$、$0.15\ \mathrm{m^3}$、$0.25\ \mathrm{m^3}$、$0.35\ \mathrm{m^3}$、$0.45\ \mathrm{m^3}$、$0.55\ \mathrm{m^3}$，
则平均数$\bar{x}_2=\frac{0.05×1 + 0.15×5 + 0.25×13 + 0.35×10 + 0.45×16 + 0.55×5}{50}$
$=\frac{0.05 + 0.75 + 3.25 + 3.5 + 7.2 + 2.75}{50}=\frac{17.5}{50}=0.35\ \mathrm{m^3}$
③ 计算一年节省的水量：
日均节水量为$0.48 - 0.35=0.13\ \mathrm{m^3}$，
一年（365天）节省的水量为$0.13×365=47.45\ \mathrm{m^3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{19}{50}}$；(2) $\boldsymbol{47.45\ \mathrm{m^3}}$
【知识点】
频率估计概率，加权平均数，频数分布表
【点评】
本题结合实际问题，考查了频率与概率的关系以及加权平均数的计算，需要准确解读频数分布表，掌握组中值的应用，理解用频率估计概率的思想，同时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(1)问：根据概率的统计定义，当试验次数足够多时，频率可近似估计概率。我们需要先从使用节水龙头的频数分布表中，找出日用水量小于0.3m³的所有组的频数，求和得到符合条件的天数，再除以总天数50得到频率，该频率即为概率的估计值。
2. 对于第(2)问：要计算一年节省的水量，需先分别计算未使用和使用节水龙头时的日平均用水量。计算平均用水量时，用每组的组中值作为该组数据的代表，乘以对应频数后求和，再除以总天数50得到日均用水量；接着求出两种状态下日均用水量的差值，最后乘以一年的天数365，即可得到一年节省的水量。
【解析】
(1) 由表2可知，使用节水龙头后，日用水量小于$0.3\ \mathrm{m^3}$的频数为：
$1+5+13=19$
总试验天数为50天，因此日用水量小于$0.3\ \mathrm{m^3}$的频率为$\frac{19}{50}$，根据频率估计概率，可得该家庭使用节水龙头后，日用水量小于$0.3\ \mathrm{m^3}$的概率估计值为$\frac{19}{50}$。
(2) ① 计算未使用节水龙头时50天日用水量的平均数：
每组的组中值依次为$0.05\ \mathrm{m^3}$、$0.15\ \mathrm{m^3}$、$0.25\ \mathrm{m^3}$、$0.35\ \mathrm{m^3}$、$0.45\ \mathrm{m^3}$、$0.55\ \mathrm{m^3}$、$0.65\ \mathrm{m^3}$，
则平均数$\bar{x}_1=\frac{0.05×1 + 0.15×3 + 0.25×2 + 0.35×4 + 0.45×9 + 0.55×26 + 0.65×5}{50}$
$=\frac{0.05 + 0.45 + 0.5 + 1.4 + 4.05 + 14.3 + 3.25}{50}=\frac{24}{50}=0.48\ \mathrm{m^3}$
② 计算使用节水龙头时50天日用水量的平均数：
每组的组中值依次为$0.05\ \mathrm{m^3}$、$0.15\ \mathrm{m^3}$、$0.25\ \mathrm{m^3}$、$0.35\ \mathrm{m^3}$、$0.45\ \mathrm{m^3}$、$0.55\ \mathrm{m^3}$，
则平均数$\bar{x}_2=\frac{0.05×1 + 0.15×5 + 0.25×13 + 0.35×10 + 0.45×16 + 0.55×5}{50}$
$=\frac{0.05 + 0.75 + 3.25 + 3.5 + 7.2 + 2.75}{50}=\frac{17.5}{50}=0.35\ \mathrm{m^3}$
③ 计算一年节省的水量：
日均节水量为$0.48 - 0.35=0.13\ \mathrm{m^3}$，
一年（365天）节省的水量为$0.13×365=47.45\ \mathrm{m^3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{19}{50}}$；(2) $\boldsymbol{47.45\ \mathrm{m^3}}$
【知识点】
频率估计概率，加权平均数，频数分布表
【点评】
本题结合实际问题，考查了频率与概率的关系以及加权平均数的计算，需要准确解读频数分布表，掌握组中值的应用，理解用频率估计概率的思想，同时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.6
