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【例 3】某市为节约水资源，制定了新的居民用水收费标准。按照新标准，用户每月缴纳的水费$y$(单位：元)与每月用水量$x$(单位：$\mathrm{m}^3$)之间的关系如图所示。
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 若某用户二、三月份共用水$40\ \mathrm{m}^3$(二月份用水量不超过$25\ \mathrm{m}^3$)，缴纳水费$79.8$元，则该用户二、三月份的用水量各是多少立方米？
思路分析
思考 1：观察图象可知，当$0≤ x≤ 15$时，$y$是$x$的
思考 2：若设该用户二月份的用水量是$x\ \mathrm{m}^3$，由题意可知，二月份的收费标准要分哪几种情况讨论？
解：
(1) 求$y$关于$x$的函数解析式；
(2) 若某用户二、三月份共用水$40\ \mathrm{m}^3$(二月份用水量不超过$25\ \mathrm{m}^3$)，缴纳水费$79.8$元，则该用户二、三月份的用水量各是多少立方米？
思路分析
思考 1：观察图象可知，当$0≤ x≤ 15$时，$y$是$x$的
正比例
函数；当$x ＞ 15$时，$y$是$x$的一次
函数。思考 2：若设该用户二月份的用水量是$x\ \mathrm{m}^3$，由题意可知，二月份的收费标准要分哪几种情况讨论？
解：
答案
【例3】
思路分析
思考1：正比例 一次
思考2：二月份的收费标准要分$0≤x≤15$和$15＜x≤25$两种情况讨论。
解：(1)$y$关于$x$的函数解析式为
$y=\{\begin{array}{l} 1.8x(0≤x≤15),\\ 2.4x-9(x＞15).\end{array} $
(2)该用户二、三月份的用水量分别是$12m^{3}$，$28m^{3}$。
思路分析
思考1：正比例 一次
思考2：二月份的收费标准要分$0≤x≤15$和$15＜x≤25$两种情况讨论。
解：(1)$y$关于$x$的函数解析式为
$y=\{\begin{array}{l} 1.8x(0≤x≤15),\\ 2.4x-9(x＞15).\end{array} $
(2)该用户二、三月份的用水量分别是$12m^{3}$，$28m^{3}$。
解析
【解析】
(1) 分两种情况求解：
①当$0≤ x≤15$时，设$y=kx$，将$(15,27)$代入得：
$27=15k$，解得$k=1.8$，
$\therefore y=1.8x$；
②当$x＞15$时，设$y=ax+b$，将$(15,27)$和$(20,39)$代入得：
$\begin{cases}15a+b=27\\20a+b=39\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2.4\\b=-9\end{cases}$，
$\therefore y=2.4x-9$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}1.8x(0≤ x≤15)\\2.4x-9(x＞15)\end{cases}$。
(2) 设二月份用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，则三月份用水量为$(40-x)\ \mathrm{m}^3$，分两种情况讨论：
①当$0≤ x≤15$时，$40-x≥25$，
则$1.8x + 2.4(40-x)-9=79.8$，
解得$x=12$，$40-x=28$，符合题意；
②当$15＜ x≤25$时，$15≤40-x＜25$，
则$2.4x-9 + 2.4(40-x)-9=79.8$，
左边化简得$78$，$78≠79.8$，此方程无解。
综上，该用户二月份用水量为$12\ \mathrm{m}^3$，三月份用水量为$28\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}1.8x(0≤ x≤15)\\2.4x-9(x＞15)\end{cases}$；
(2) 二月份用水量$12\ \mathrm{m}^3$，三月份用水量$28\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，分类讨论思想
【点评】
本题考查分段函数在实际生活中的应用，需根据图象分段求函数解析式，再结合实际用水量的范围分类讨论求解，注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
(1) 分两种情况求解：
①当$0≤ x≤15$时，设$y=kx$，将$(15,27)$代入得：
$27=15k$，解得$k=1.8$，
$\therefore y=1.8x$；
②当$x＞15$时，设$y=ax+b$，将$(15,27)$和$(20,39)$代入得：
$\begin{cases}15a+b=27\\20a+b=39\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2.4\\b=-9\end{cases}$，
$\therefore y=2.4x-9$。
综上，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\begin{cases}1.8x(0≤ x≤15)\\2.4x-9(x＞15)\end{cases}$。
(2) 设二月份用水量为$x\ \mathrm{m}^3$，则三月份用水量为$(40-x)\ \mathrm{m}^3$，分两种情况讨论：
①当$0≤ x≤15$时，$40-x≥25$，
则$1.8x + 2.4(40-x)-9=79.8$，
解得$x=12$，$40-x=28$，符合题意；
②当$15＜ x≤25$时，$15≤40-x＜25$，
则$2.4x-9 + 2.4(40-x)-9=79.8$，
左边化简得$78$，$78≠79.8$，此方程无解。
综上，该用户二月份用水量为$12\ \mathrm{m}^3$，三月份用水量为$28\ \mathrm{m}^3$。
【答案】
(1) $y=\begin{cases}1.8x(0≤ x≤15)\\2.4x-9(x＞15)\end{cases}$；
(2) 二月份用水量$12\ \mathrm{m}^3$，三月份用水量$28\ \mathrm{m}^3$。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，分类讨论思想
【点评】
本题考查分段函数在实际生活中的应用，需根据图象分段求函数解析式，再结合实际用水量的范围分类讨论求解，注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.6
4. 某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法。某户居民应交水费$y$(单位：元)与月用水量$x$(单位：$\mathrm{t}$)的函数关系如图所示。若该用户本月用水$18\ \mathrm{t}$，则应交水费(
A.$43.2$元
B.$45$元
C.$46.8$元
D.$48$元
C
)A.$43.2$元
B.$45$元
C.$46.8$元
D.$48$元
答案
4. C
解析
【解析】
当$x≥15$时，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(15,36)$、$(20,54)$代入解析式得：
$\begin{cases}15k + b = 36 \\20k + b = 54 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=3.6 \\b=-18 \end{cases}$，即$y=3.6x-18(x≥15)$。
当$x=18$时，代入得$y=3.6×18 -18=46.8$，因此应交水费46.8元。
【答案】
C
【知识点】
分段函数应用，一次函数解析式求解，一次函数求值
【点评】
本题考查分段函数在实际收费问题中的应用，核心是通过已知点求出对应区间的一次函数解析式，再代入计算，需注意分段函数的区间范围。
【难度系数】
0.6
当$x≥15$时，设函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$(15,36)$、$(20,54)$代入解析式得：
$\begin{cases}15k + b = 36 \\20k + b = 54 \end{cases}$
解得$\begin{cases}k=3.6 \\b=-18 \end{cases}$，即$y=3.6x-18(x≥15)$。
当$x=18$时，代入得$y=3.6×18 -18=46.8$，因此应交水费46.8元。
【答案】
C
【知识点】
分段函数应用，一次函数解析式求解，一次函数求值
【点评】
本题考查分段函数在实际收费问题中的应用，核心是通过已知点求出对应区间的一次函数解析式，再代入计算，需注意分段函数的区间范围。
【难度系数】
0.6
5. 如图，直线$l$对应的函数解析式为
$y=-x+3$
。答案
5. $y=-x+3$
解析
【解析】
设直线$l$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，由图象可知直线过点$(1,2)$和$(3,0)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=0\end{cases}$
解方程组，得$k=-1$，$b=3$，
所以直线$l$对应的函数解析式为$y=-x+3$。
【答案】
$y=-x+3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象
【点评】
本题为基础题型，考查一次函数解析式的求解，关键是运用待定系数法，从图象中获取两点坐标，通过解方程组确定函数系数，需熟练掌握待定系数法的解题步骤。
【难度系数】
0.9
设直线$l$的函数解析式为$y=kx+b(k≠0)$，由图象可知直线过点$(1,2)$和$(3,0)$，将两点代入解析式得：
$\begin{cases}k+b=2\\3k+b=0\end{cases}$
解方程组，得$k=-1$，$b=3$，
所以直线$l$对应的函数解析式为$y=-x+3$。
【答案】
$y=-x+3$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象
【点评】
本题为基础题型，考查一次函数解析式的求解，关键是运用待定系数法，从图象中获取两点坐标，通过解方程组确定函数系数，需熟练掌握待定系数法的解题步骤。
【难度系数】
0.9
