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【例 1】一次函数的图象经过点$(1,2)$，$(-1,6)$。
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 求一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。
解：
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 求一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积。
解：
答案
【例1】解：(1)一次函数的解析式为$y=-2x+4$。
(2)一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积是4。
(2)一次函数图象与两坐标轴围成的三角形的面积是4。
解析
【解析】
(1) 设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），将点$(1,2)$、$(-1,6)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}k + b = 2 \\-k + b = 6\end{cases}$
解方程组得$k = -2$，$b = 4$，故一次函数的解析式为$y = -2x + 4$。
(2) 对于$y = -2x + 4$，令$x=0$，得$y=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$x=2$，即与x轴交点为$(2,0)$。
则围成的三角形面积$S = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+4}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴交点、三角形面积计算
【点评】
本题为一次函数基础题型，主要考查待定系数法的应用及一次函数图象与坐标轴围成图形的面积计算，需熟练掌握一次函数解析式的求解步骤和交点坐标的求法，计算时注意准确性。
【难度系数】
0.8
(1) 设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k≠0$），将点$(1,2)$、$(-1,6)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases}k + b = 2 \\-k + b = 6\end{cases}$
解方程组得$k = -2$，$b = 4$，故一次函数的解析式为$y = -2x + 4$。
(2) 对于$y = -2x + 4$，令$x=0$，得$y=4$，即与y轴交点为$(0,4)$；令$y=0$，得$x=2$，即与x轴交点为$(2,0)$。
则围成的三角形面积$S = \frac{1}{2} × 2 × 4 = 4$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-2x+4}$；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、一次函数与坐标轴交点、三角形面积计算
【点评】
本题为一次函数基础题型，主要考查待定系数法的应用及一次函数图象与坐标轴围成图形的面积计算，需熟练掌握一次函数解析式的求解步骤和交点坐标的求法，计算时注意准确性。
【难度系数】
0.8
【例 2】在平面直角坐标系中，将直线$y = -2x + b$向上平移 2 个单位长度后过点$(3,1)$，则平移后的直线对应的函数解析式为
$y=-2x+7$
。答案
【例2】$y=-2x+7$
解析
【解析】
1. 根据一次函数图像平移的“上加下减”规律，直线$y=-2x+b$向上平移2个单位长度后，所得直线的解析式为$y=-2x+b+2$。
2. 已知平移后的直线过点$(3,1)$，将$x=3$，$y=1$代入上述解析式，得：$1=-2×3+b+2$。
3. 解方程：$1=-6+b+2$，即$1=b-4$，解得$b=5$。
4. 将$b=5$代入$y=-2x+b+2$，可得平移后的直线解析式为$y=-2x+7$。
【答案】
$y=-2x+7$
【知识点】
一次函数图像平移、待定系数法求解析式
【点评】
本题考查一次函数的平移规律及待定系数法的应用，需熟练掌握“上加下减”的平移法则，并能利用已知点坐标求解函数参数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 根据一次函数图像平移的“上加下减”规律，直线$y=-2x+b$向上平移2个单位长度后，所得直线的解析式为$y=-2x+b+2$。
2. 已知平移后的直线过点$(3,1)$，将$x=3$，$y=1$代入上述解析式，得：$1=-2×3+b+2$。
3. 解方程：$1=-6+b+2$，即$1=b-4$，解得$b=5$。
4. 将$b=5$代入$y=-2x+b+2$，可得平移后的直线解析式为$y=-2x+7$。
【答案】
$y=-2x+7$
【知识点】
一次函数图像平移、待定系数法求解析式
【点评】
本题考查一次函数的平移规律及待定系数法的应用，需熟练掌握“上加下减”的平移法则，并能利用已知点坐标求解函数参数，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 已知$y$是$x$的一次函数，当$x = 3$时，$y = 1$；当$x = -2$时，$y = -4$，则这个一次函数的解析式为
$y=x-2$
。答案
1. $y=x-2$
解析
【解析】
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
将$\begin{cases}x=3, y=1\\x=-2, y=-4\end{cases}$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}3k + b = 1 \\ -2k + b = -4 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$5k = 5$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$3k + b = 1$，得$3×1 + b = 1$，解得$b=-2$。
因此，这个一次函数的解析式为$y=x-2$。
【答案】
$y=x-2$
【知识点】
待定系数法、一次函数解析式
【点评】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，属于一次函数基础题型，需熟练掌握利用已知点坐标列方程组求解参数的方法。
【难度系数】
0.8
设该一次函数的解析式为$y = kx + b$（$k ≠ 0$）。
将$\begin{cases}x=3, y=1\\x=-2, y=-4\end{cases}$代入解析式，得到方程组：
$\begin{cases}3k + b = 1 \\ -2k + b = -4 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$5k = 5$，解得$k=1$。
把$k=1$代入$3k + b = 1$，得$3×1 + b = 1$，解得$b=-2$。
因此，这个一次函数的解析式为$y=x-2$。
【答案】
$y=x-2$
【知识点】
待定系数法、一次函数解析式
【点评】
本题考查待定系数法求一次函数解析式，属于一次函数基础题型，需熟练掌握利用已知点坐标列方程组求解参数的方法。
【难度系数】
0.8
2. 已知直线$y = kx + b$经过点$A(0,6)$，且平行于直线$y = -4x$，则直线$y = kx + b$对应的函数解析式为
$y=-4x+6$
。答案
2. $y=-4x+6$
解析
【解析】
因为直线$y = kx + b$平行于直线$y = -4x$，根据平行直线的斜率相等，可得$k=-4$。
又因为直线$y = kx + b$经过点$A(0,6)$，将$x=0$，$y=6$代入$y=-4x+b$，得$6=0+b$，解得$b=6$。
所以直线对应的函数解析式为$y=-4x+6$。
【答案】
$y=-4x+6$
【知识点】
一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数的平行性质及待定系数法的应用，解题关键是利用平行直线斜率相等求出$k$的值，再代入已知点坐标求出$b$的值。
【难度系数】
0.8
因为直线$y = kx + b$平行于直线$y = -4x$，根据平行直线的斜率相等，可得$k=-4$。
又因为直线$y = kx + b$经过点$A(0,6)$，将$x=0$，$y=6$代入$y=-4x+b$，得$6=0+b$，解得$b=6$。
所以直线对应的函数解析式为$y=-4x+6$。
【答案】
$y=-4x+6$
【知识点】
一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查一次函数的平行性质及待定系数法的应用，解题关键是利用平行直线斜率相等求出$k$的值，再代入已知点坐标求出$b$的值。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中，已知点$A(0,3)$，$B(1,0)$，将线段$AB$沿一定方向平移，设平移后点$A$的对应点为$A'(2,5)$，点$B$的对应点为$B'$，则直线$B'B$对应的函数解析式为(
A.$y = x - 1$
B.$y = -3x + 11$
C.$y = x + 3$
D.$y = -3x + 3$
A
)A.$y = x - 1$
B.$y = -3x + 11$
C.$y = x + 3$
D.$y = -3x + 3$
答案
3. A
解析
【解析】
1. 确定平移规律：点$A(0,3)$平移到$A'(2,5)$，横坐标增加$2-0=2$，纵坐标增加$5-3=2$，即向右平移2个单位，向上平移2个单位。
2. 求点$B'$的坐标：点$B(1,0)$按上述规律平移，横坐标为$1+2=3$，纵坐标为$0+2=2$，故$B'(3,2)$。
3. 设直线$B'B$的解析式为$y=kx+b$，将$B(1,0)$、$B'(3,2)$代入得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\ 3k + b = 2\end{cases}$
4. 解方程组：两式相减得$2k=2$，解得$k=1$；代入$k + b = 0$得$b=-1$，因此直线$B'B$的解析式为$y=x-1$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律与一次函数解析式的求解，关键是先通过已知点确定平移规律，再利用待定系数法求解函数解析式，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 确定平移规律：点$A(0,3)$平移到$A'(2,5)$，横坐标增加$2-0=2$，纵坐标增加$5-3=2$，即向右平移2个单位，向上平移2个单位。
2. 求点$B'$的坐标：点$B(1,0)$按上述规律平移，横坐标为$1+2=3$，纵坐标为$0+2=2$，故$B'(3,2)$。
3. 设直线$B'B$的解析式为$y=kx+b$，将$B(1,0)$、$B'(3,2)$代入得：
$\begin{cases}k + b = 0 \\ 3k + b = 2\end{cases}$
4. 解方程组：两式相减得$2k=2$，解得$k=1$；代入$k + b = 0$得$b=-1$，因此直线$B'B$的解析式为$y=x-1$。
【答案】
A
【知识点】
平移的性质、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的平移规律与一次函数解析式的求解，关键是先通过已知点确定平移规律，再利用待定系数法求解函数解析式，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
