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3. “美丽乡村建设”小组乘汽车赴 $180\mathrm{km}$ 处的农村进行调研，前一段路为国道，后一段路为乡村公路，汽车在国道和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程 $y$(单位：$\mathrm{km}$)与时间 $x$(单位：$\mathrm{h}$)之间的关系如图所示，则该小组到达目的地的时间为
3.5
$\mathrm{h}$。答案
3.3.5
解析
【解析】
1. 由图像可得，汽车在乡村公路上的行驶速度为：$(160-120)÷(3-2)=40(\mathrm{km/h})$；
2. 剩余未行驶的路程为：$180-160=20(\mathrm{km})$；
3. 行驶剩余路程所需时间为：$20÷40=0.5(\mathrm{h})$；
4. 因此该小组到达目的地的总时间为：$3+0.5=3.5(\mathrm{h})$。
【答案】
3.5
【知识点】
一次函数的实际应用、行程问题公式
【点评】
本题借助函数图像提取行程数据，考查一次函数在实际行程问题中的应用，核心是结合速度、路程、时间的数量关系求解，关键在于准确计算乡村公路段的行驶速度。
【难度系数】
0.7
1. 由图像可得，汽车在乡村公路上的行驶速度为：$(160-120)÷(3-2)=40(\mathrm{km/h})$；
2. 剩余未行驶的路程为：$180-160=20(\mathrm{km})$；
3. 行驶剩余路程所需时间为：$20÷40=0.5(\mathrm{h})$；
4. 因此该小组到达目的地的总时间为：$3+0.5=3.5(\mathrm{h})$。
【答案】
3.5
【知识点】
一次函数的实际应用、行程问题公式
【点评】
本题借助函数图像提取行程数据，考查一次函数在实际行程问题中的应用，核心是结合速度、路程、时间的数量关系求解，关键在于准确计算乡村公路段的行驶速度。
【难度系数】
0.7
4. 随着生活水平的日益提高，人们的健康意识逐渐增强，越来越多的人把健身作为一种时尚的生活方式。某商家抓住机遇举行促销活动，向客户提供了两种优惠方案：
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打八折。
运动外套每件定价 $300$ 元，卫衣每件定价 $100$ 元，在促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套 $100$ 件，卫衣 $x$ 件（$x≥100$），设采用方案一的费用为 $y_1$ 元，采用方案二的费用为 $y_2$ 元。
（1）请分别求出 $y_1$，$y_2$ 关于 $x$ 的函数解析式；
（2）当 $x = 150$ 时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
（3）当该俱乐部购买多少件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同？
方案一：买一件运动外套送一件卫衣；
方案二：运动外套和卫衣均在定价的基础上打八折。
运动外套每件定价 $300$ 元，卫衣每件定价 $100$ 元，在促销活动期间，某俱乐部要到该商场购买运动外套 $100$ 件，卫衣 $x$ 件（$x≥100$），设采用方案一的费用为 $y_1$ 元，采用方案二的费用为 $y_2$ 元。
（1）请分别求出 $y_1$，$y_2$ 关于 $x$ 的函数解析式；
（2）当 $x = 150$ 时，请计算并比较这两种方案哪种更划算；
（3）当该俱乐部购买多少件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同？
答案
4.解：(1)y₁ = 100x + 20000，y₂ = 80x + 24000。
(2)当x = 150时，方案一更划算。
(3)当该俱乐部购买200件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同。
(2)当x = 150时，方案一更划算。
(3)当该俱乐部购买200件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同。
解析
【解析】
（1）根据两种优惠方案的计费规则：
方案一：买100件运动外套送100件卫衣，需额外购买卫衣$(x-100)$件，
$y_1 = 300×100 + 100(x-100) = 100x + 20000$（$x≥100$）；
方案二：运动外套和卫衣均打八折，
$y_2 = 0.8×(300×100 + 100x) = 80x + 24000$（$x≥100$）。
（2）当$x=150$时，
代入$y_1$得：$y_1 = 100×150 + 20000 = 35000$（元），
代入$y_2$得：$y_2 = 80×150 + 24000 = 36000$（元），
因为$35000 ＜ 36000$，所以方案一更划算。
（3）令$y_1 = y_2$，则：
$100x + 20000 = 80x + 24000$，
移项化简得$20x = 4000$，
解得$x=200$，即购买200件卫衣时，两种方案费用相同。
【答案】
（1）$y_1 = 100x + 20000$（$x≥100$），$y_2 = 80x + 24000$（$x≥100$）；
（2）当$x=150$时，方案一更划算；
（3）当购买200件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同。
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合实际促销场景，考查一次函数的建模与应用，通过分析两种优惠方案的计费逻辑建立函数关系式，再利用代入求值、解方程解决方案选择问题，提升学生的数学应用与决策能力。
【难度系数】
0.7
（1）根据两种优惠方案的计费规则：
方案一：买100件运动外套送100件卫衣，需额外购买卫衣$(x-100)$件，
$y_1 = 300×100 + 100(x-100) = 100x + 20000$（$x≥100$）；
方案二：运动外套和卫衣均打八折，
$y_2 = 0.8×(300×100 + 100x) = 80x + 24000$（$x≥100$）。
（2）当$x=150$时，
代入$y_1$得：$y_1 = 100×150 + 20000 = 35000$（元），
代入$y_2$得：$y_2 = 80×150 + 24000 = 36000$（元），
因为$35000 ＜ 36000$，所以方案一更划算。
（3）令$y_1 = y_2$，则：
$100x + 20000 = 80x + 24000$，
移项化简得$20x = 4000$，
解得$x=200$，即购买200件卫衣时，两种方案费用相同。
【答案】
（1）$y_1 = 100x + 20000$（$x≥100$），$y_2 = 80x + 24000$（$x≥100$）；
（2）当$x=150$时，方案一更划算；
（3）当购买200件卫衣时，选择方案一和方案二的费用相同。
【知识点】
一次函数实际应用，一元一次方程求解
【点评】
本题结合实际促销场景，考查一次函数的建模与应用，通过分析两种优惠方案的计费逻辑建立函数关系式，再利用代入求值、解方程解决方案选择问题，提升学生的数学应用与决策能力。
【难度系数】
0.7
5. 某专卖店购进 A，B 两种礼盒进行销售。A 种礼盒每个进价 $160$ 元，售价 $220$ 元；B 种礼盒每个进价 $120$ 元，售价 $160$ 元。现计划购进两种礼盒共 $100$ 个，其中 A 种礼盒不少于 $60$ 个。设购进 A 种礼盒 $x$ 个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利 $y$ 元。
（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；
（2）若购进 $100$ 个礼盒的总费用不超过 $15000$ 元，求该专卖店获得的最大利润为多少元。
（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式；
（2）若购进 $100$ 个礼盒的总费用不超过 $15000$ 元，求该专卖店获得的最大利润为多少元。
答案
5.解：(1)y与x之间的函数解析式为y = 20x + 4000(60 ≤ x ≤ 100)。
(2)该专卖店获得的最大利润为5500元。
(2)该专卖店获得的最大利润为5500元。
解析
【解析】
（1）A种礼盒每个利润为$220-160=60$元，B种礼盒每个利润为$160-120=40$元。
购进A种礼盒$x$个，则购进B种礼盒$(100-x)$个，总利润$y=60x+40(100-x)$，化简得$y=20x+4000$。
由A种礼盒不少于60个，且$x≤100$，得$60≤x≤100$，因此$y$与$x$的函数解析式为$y=20x+4000(60≤x≤100)$。
（2）根据总费用不超过15000元，列不等式：
$160x+120(100-x)≤15000$，
解得$x≤75$。
结合$60≤x≤100$，得$60≤x≤75$。
因为$y=20x+4000$中$20＞0$，$y$随$x$的增大而增大，
当$x=75$时，$y$取得最大值，$y_{最大}=20×75+4000=5500$元。
【答案】
（1）$y=20x+4000(60≤x≤100)$；
（2）5500元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的实际应用，需根据题意准确列出函数解析式和不等式，利用一次函数的增减性求解最值。
【难度系数】
0.6
（1）A种礼盒每个利润为$220-160=60$元，B种礼盒每个利润为$160-120=40$元。
购进A种礼盒$x$个，则购进B种礼盒$(100-x)$个，总利润$y=60x+40(100-x)$，化简得$y=20x+4000$。
由A种礼盒不少于60个，且$x≤100$，得$60≤x≤100$，因此$y$与$x$的函数解析式为$y=20x+4000(60≤x≤100)$。
（2）根据总费用不超过15000元，列不等式：
$160x+120(100-x)≤15000$，
解得$x≤75$。
结合$60≤x≤100$，得$60≤x≤75$。
因为$y=20x+4000$中$20＞0$，$y$随$x$的增大而增大，
当$x=75$时，$y$取得最大值，$y_{最大}=20×75+4000=5500$元。
【答案】
（1）$y=20x+4000(60≤x≤100)$；
（2）5500元。
【知识点】
一次函数的应用，一元一次不等式的应用
【点评】
本题考查一次函数与一元一次不等式的实际应用，需根据题意准确列出函数解析式和不等式，利用一次函数的增减性求解最值。
【难度系数】
0.6
