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5. 某校举行书画大赛，准备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生。已知购买 $2$ 个甲种文具、$1$ 个乙种文具共需花费 $35$ 元；购买 $1$ 个甲种文具、$3$ 个乙种文具共需花费 $30$ 元。
（1）购买 $1$ 个甲种文具、$1$ 个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共 $120$ 个，投入资金不少于 $955$ 元又不多于 $1000$ 元，设购买甲种文具 $x$ 个，有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金为 $W$ 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少是多少元？
（1）购买 $1$ 个甲种文具、$1$ 个乙种文具各需多少元？
（2）若学校计划购买这两种文具共 $120$ 个，投入资金不少于 $955$ 元又不多于 $1000$ 元，设购买甲种文具 $x$ 个，有多少种购买方案？
（3）设学校投入资金为 $W$ 元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少是多少元？
答案
5.解：(1)购买1个甲种文具需要15元，购买1个乙种文具需要5元。
(2)有5种购买方案。
(3)购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少是960元。
(2)有5种购买方案。
(3)购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少是960元。
解析
【解析】
（1）设购买1个甲种文具需$x$元，1个乙种文具需$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 35 \\ x + 3y = 30\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 15 \\ y = 5\end{cases}$
（2）设购买甲种文具$x$个，则购买乙种文具$(120 - x)$个。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}15x + 5(120 - x) ≥ 955 \\ 15x + 5(120 - x) ≤ 1000\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}10x + 600 ≥ 955 \\ 10x + 600 ≤ 1000\end{cases}$
解得$35.5 ≤ x ≤ 40$
因为$x$为正整数，所以$x$可取36、37、38、39、40，共5种购买方案。
（3）资金$W = 15x + 5(120 - x) = 10x + 600$
因为$10 ＞ 0$，所以$W$随$x$的增大而增大。
当$x = 36$时，$W$最小，$W_{最小}=10×36 + 600 = 960$（元），此时乙种文具购买$120 - 36 = 84$个。
【答案】
（1）购买1个甲种文具需15元，1个乙种文具需5元；
（2）有5种购买方案；
（3）购买甲种文具36个、乙种文具84个时资金最少，最少是960元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的最值应用
【点评】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的实际应用，解题关键是根据题意准确建立数学模型，结合实际意义求解。
【难度系数】
0.6
（1）设购买1个甲种文具需$x$元，1个乙种文具需$y$元。
根据题意列方程组：
$\begin{cases}2x + y = 35 \\ x + 3y = 30\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 15 \\ y = 5\end{cases}$
（2）设购买甲种文具$x$个，则购买乙种文具$(120 - x)$个。
根据题意列不等式组：
$\begin{cases}15x + 5(120 - x) ≥ 955 \\ 15x + 5(120 - x) ≤ 1000\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}10x + 600 ≥ 955 \\ 10x + 600 ≤ 1000\end{cases}$
解得$35.5 ≤ x ≤ 40$
因为$x$为正整数，所以$x$可取36、37、38、39、40，共5种购买方案。
（3）资金$W = 15x + 5(120 - x) = 10x + 600$
因为$10 ＞ 0$，所以$W$随$x$的增大而增大。
当$x = 36$时，$W$最小，$W_{最小}=10×36 + 600 = 960$（元），此时乙种文具购买$120 - 36 = 84$个。
【答案】
（1）购买1个甲种文具需15元，1个乙种文具需5元；
（2）有5种购买方案；
（3）购买甲种文具36个、乙种文具84个时资金最少，最少是960元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的最值应用
【点评】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一次函数的实际应用，解题关键是根据题意准确建立数学模型，结合实际意义求解。
【难度系数】
0.6
1. 甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价 $y$(单位：元)与销售量 $x$(单位：件)之间的函数图象如图所示。有下列结论：①当 $x = 2$ 时，在两家商店买花费一样多；②当 $x ＞ 2$ 时，在甲商店买合算；③当 $0 ＜ x ＜ 2$ 时，在乙商店买合算。其中，正确结论的个数是(
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
D
)A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
1.D
解析
【解析】
1. 观察函数图象，当$x=2$时，甲、乙对应的$y$值均为4，说明此时在两家商店买花费一样多，结论①正确；
2. 当$x＞2$时，甲的函数图象在乙的下方，即甲的销售价更低，因此在甲商店买合算，结论②正确；
3. 当$0＜x＜2$时，乙的函数图象在甲的下方，即乙的销售价更低，因此在乙商店买合算，结论③正确。
综上，三个结论均正确，正确结论的个数是3。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象应用
【点评】
本题通过一次函数图象的高低比较，判断不同购买数量下的合算商店，考查了对一次函数图象实际意义的理解，关键是准确分析图象中不同区间的函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
1. 观察函数图象，当$x=2$时，甲、乙对应的$y$值均为4，说明此时在两家商店买花费一样多，结论①正确；
2. 当$x＞2$时，甲的函数图象在乙的下方，即甲的销售价更低，因此在甲商店买合算，结论②正确；
3. 当$0＜x＜2$时，乙的函数图象在甲的下方，即乙的销售价更低，因此在乙商店买合算，结论③正确。
综上，三个结论均正确，正确结论的个数是3。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象应用
【点评】
本题通过一次函数图象的高低比较，判断不同购买数量下的合算商店，考查了对一次函数图象实际意义的理解，关键是准确分析图象中不同区间的函数值大小关系。
【难度系数】
0.7
2. 如图，购买一种苹果，所付金额 $y$(单位：元)与购买量 $x$(单位：$\mathrm{kg}$)之间的函数图象由线段 $OA$ 和射线 $AB$ 组成，则一次购买 $3\mathrm{kg}$ 这种苹果比分三次每次购买 $1\mathrm{kg}$ 这种苹果可节省(
A.$1$ 元
B.$2$ 元
C.$3$ 元
D.$4$ 元
B
)A.$1$ 元
B.$2$ 元
C.$3$ 元
D.$4$ 元
答案
2.B
解析
【解析】
1. 分析OA段：由点A(2,20)可知，当$0＜x≤2$时，苹果单价为$\frac{20}{2}=10$元/kg，分三次每次购买1kg的总金额为$3×10=30$元。
2. 求射线AB的函数解析式：设射线AB的解析式为$y=kx+b$（$x≥2$），将A(2,20)、B(4,36)代入得：
$\begin{cases}2k+b=20\\4k+b=36\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=8\\b=4\end{cases}$，即$y=8x+4$（$x≥2$）。
3. 计算一次购买3kg的金额：将$x=3$代入$y=8x+4$，得$y=8×3+4=28$元。
4. 计算节省金额：$30-28=2$元。
【答案】
B
【知识点】
分段函数应用、一次函数解析式
【点评】
本题考查分段函数在实际购物问题中的应用，需结合图象分段分析单价与购买量的关系，通过计算不同购买方式的费用差得到结果。
【难度系数】
0.6
1. 分析OA段：由点A(2,20)可知，当$0＜x≤2$时，苹果单价为$\frac{20}{2}=10$元/kg，分三次每次购买1kg的总金额为$3×10=30$元。
2. 求射线AB的函数解析式：设射线AB的解析式为$y=kx+b$（$x≥2$），将A(2,20)、B(4,36)代入得：
$\begin{cases}2k+b=20\\4k+b=36\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=8\\b=4\end{cases}$，即$y=8x+4$（$x≥2$）。
3. 计算一次购买3kg的金额：将$x=3$代入$y=8x+4$，得$y=8×3+4=28$元。
4. 计算节省金额：$30-28=2$元。
【答案】
B
【知识点】
分段函数应用、一次函数解析式
【点评】
本题考查分段函数在实际购物问题中的应用，需结合图象分段分析单价与购买量的关系，通过计算不同购买方式的费用差得到结果。
【难度系数】
0.6
