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7. 运用平方差公式计算：
(1)$103×97$.
(2)$99.8×100.2$.
(3)$10\frac{1}{5}×9\frac{4}{5}$.
(4)$2025^{2} - 2024×2026$.
(1)$103×97$.
(2)$99.8×100.2$.
(3)$10\frac{1}{5}×9\frac{4}{5}$.
(4)$2025^{2} - 2024×2026$.
答案
7. (1) 9991 (2) 9999.96 (3) $ 99 \frac { 24 } { 25 } $ (4) 1
解析
【解析】
本题运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$进行简便计算：
(1) 将$103$化为$100+3$，$97$化为$100-3$，则：
$103×97=(100+3)(100-3)=100^2-3^2=10000-9=9991$；
(2) 将$99.8$化为$100-0.2$，$100.2$化为$100+0.2$，则：
$99.8×100.2=(100-0.2)(100+0.2)=100^2-0.2^2=10000-0.04=9999.96$；
(3) 将$10\frac{1}{5}$化为$10+\frac{1}{5}$，$9\frac{4}{5}$化为$10-\frac{1}{5}$，则：
$10\frac{1}{5}×9\frac{4}{5}=(10+\frac{1}{5})(10-\frac{1}{5})=10^2-(\frac{1}{5})^2=100-\frac{1}{25}=99\frac{24}{25}$；
(4) 将$2024×2026$化为$(2025-1)(2025+1)$，则：
$2025^2 - 2024×2026=2025^2-(2025-1)(2025+1)=2025^2-(2025^2-1^2)=2025^2-2025^2+1=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9991}$；(2) $\boldsymbol{9999.96}$；(3) $\boldsymbol{99\frac{24}{25}}$；(4) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 平方差公式的应用；2. 有理数的乘法运算；3. 整式的混合运算
【点评】
本题通过将常规运算转化为平方差公式的形式，有效简化计算过程，考查对平方差公式的灵活变形与运用能力，帮助提升运算的简便性与准确性。
【难度系数】
0.6
本题运用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$进行简便计算：
(1) 将$103$化为$100+3$，$97$化为$100-3$，则：
$103×97=(100+3)(100-3)=100^2-3^2=10000-9=9991$；
(2) 将$99.8$化为$100-0.2$，$100.2$化为$100+0.2$，则：
$99.8×100.2=(100-0.2)(100+0.2)=100^2-0.2^2=10000-0.04=9999.96$；
(3) 将$10\frac{1}{5}$化为$10+\frac{1}{5}$，$9\frac{4}{5}$化为$10-\frac{1}{5}$，则：
$10\frac{1}{5}×9\frac{4}{5}=(10+\frac{1}{5})(10-\frac{1}{5})=10^2-(\frac{1}{5})^2=100-\frac{1}{25}=99\frac{24}{25}$；
(4) 将$2024×2026$化为$(2025-1)(2025+1)$，则：
$2025^2 - 2024×2026=2025^2-(2025-1)(2025+1)=2025^2-(2025^2-1^2)=2025^2-2025^2+1=1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{9991}$；(2) $\boldsymbol{9999.96}$；(3) $\boldsymbol{99\frac{24}{25}}$；(4) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 平方差公式的应用；2. 有理数的乘法运算；3. 整式的混合运算
【点评】
本题通过将常规运算转化为平方差公式的形式，有效简化计算过程，考查对平方差公式的灵活变形与运用能力，帮助提升运算的简便性与准确性。
【难度系数】
0.6
8. 先化简，再求值：$x(4x + 3) - (2x + \frac{1}{2})(2x - \frac{1}{2})$，其中$x = \frac{1}{4}$.
答案
8. $ 3 x + \frac { 1 } { 4 } $，1
解析
【解析】
1. 根据单项式乘多项式法则展开第一项：$x(4x + 3) = 4x^2 + 3x$；
2. 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$展开第二项：$(2x + \frac{1}{2})(2x - \frac{1}{2})=(2x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = 4x^2 - \frac{1}{4}$；
3. 代入原式去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 + 3x - (4x^2 - \frac{1}{4})\\&=4x^2 + 3x - 4x^2 + \frac{1}{4}\\&=3x + \frac{1}{4}\end{aligned}$
4. 将$x = \frac{1}{4}$代入化简后的式子：
$3×\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
【答案】
化简结果：$3x + \frac{1}{4}$；求值结果：$1$
【知识点】
平方差公式、单项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，需熟练运用整式运算法则和平方差公式，先化简再代入可简化计算，属于基础题型，能有效巩固整式运算能力。
【难度系数】
0.8
1. 根据单项式乘多项式法则展开第一项：$x(4x + 3) = 4x^2 + 3x$；
2. 利用平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$展开第二项：$(2x + \frac{1}{2})(2x - \frac{1}{2})=(2x)^2 - (\frac{1}{2})^2 = 4x^2 - \frac{1}{4}$；
3. 代入原式去括号并合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2 + 3x - (4x^2 - \frac{1}{4})\\&=4x^2 + 3x - 4x^2 + \frac{1}{4}\\&=3x + \frac{1}{4}\end{aligned}$
4. 将$x = \frac{1}{4}$代入化简后的式子：
$3×\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$
【答案】
化简结果：$3x + \frac{1}{4}$；求值结果：$1$
【知识点】
平方差公式、单项式乘多项式、代数式求值
【点评】
本题考查整式的化简求值，需熟练运用整式运算法则和平方差公式，先化简再代入可简化计算，属于基础题型，能有效巩固整式运算能力。
【难度系数】
0.8
9. 如果$(2a + b + 1)(2a + b - 1) = 63$，那么$2a + b$的值为
$ \pm 8 $
.答案
9. $ \pm 8 $
解析
【解析】
设$ x = 2a + b $，则原式可化为$(x + 1)(x - 1) = 63$。
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$ x^2 - 1 = 63 $，
移项得$ x^2 = 64 $，
对等式两边开平方，得$ x = \pm 8 $，即$ 2a + b = \pm 8 $。
【答案】
$\pm 8$
【知识点】
平方差公式、平方根
【点评】
本题考查平方差公式的应用及平方根的求解，通过换元法简化运算过程，需注意平方根有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
设$ x = 2a + b $，则原式可化为$(x + 1)(x - 1) = 63$。
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，可得$ x^2 - 1 = 63 $，
移项得$ x^2 = 64 $，
对等式两边开平方，得$ x = \pm 8 $，即$ 2a + b = \pm 8 $。
【答案】
$\pm 8$
【知识点】
平方差公式、平方根
【点评】
本题考查平方差公式的应用及平方根的求解，通过换元法简化运算过程，需注意平方根有正负两个值，避免漏解。
【难度系数】
0.8
10. 对于任意正整数$n$，能整除代数式$(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)$的最小正整数是
10
.答案
10. 10
解析
【解析】
先利用平方差公式展开并化简代数式：
$\begin{aligned}&(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)\\=&(9n^2 - 1) - (9 - n^2)\\=&9n^2 - 1 - 9 + n^2\\=&10n^2 - 10\\=&10(n^2 - 1)\end{aligned}$
由于$n$是正整数，$10(n^2 - 1)$必为10的倍数，因此能整除该代数式的最小正整数是10。
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的应用与代数式化简，通过代数变形将原式转化为10的倍数形式，即可确定最小整除的正整数，解题关键是熟练运用平方差公式展开并合并同类项。
【难度系数】
0.6
先利用平方差公式展开并化简代数式：
$\begin{aligned}&(3n + 1)(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)\\=&(9n^2 - 1) - (9 - n^2)\\=&9n^2 - 1 - 9 + n^2\\=&10n^2 - 10\\=&10(n^2 - 1)\end{aligned}$
由于$n$是正整数，$10(n^2 - 1)$必为10的倍数，因此能整除该代数式的最小正整数是10。
【答案】
10
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的应用与代数式化简，通过代数变形将原式转化为10的倍数形式，即可确定最小整除的正整数，解题关键是熟练运用平方差公式展开并合并同类项。
【难度系数】
0.6
11. 形如$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}$的式子叫作二阶行列式，它的算法是$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} = ad - bc$，则$\begin{vmatrix}a&a - 2\\a + 2&a + 1\end{vmatrix}$的运算结果是( )
A.$a + 4$
B.$a - 4$
C.$4$
D.$-4$
A.$a + 4$
B.$a - 4$
C.$4$
D.$-4$
答案
11. A
解析
【解析】
根据二阶行列式的算法$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，代入计算：
$\begin{vmatrix}a&a - 2\\a + 2&a + 1\end{vmatrix}=a(a+1)-(a-2)(a+2)$
展开得：$a^2+a-(a^2-4)$
去括号合并同类项：$a^2+a-a^2+4=a+4$
【答案】
A
【知识点】
二阶行列式运算、整式化简、平方差公式
【点评】
本题主要考查二阶行列式的定义及整式的运算，需准确掌握行列式的计算规则，注意去括号时的符号变化，熟练运用平方差公式简化计算。
【难度系数】
0.8
根据二阶行列式的算法$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，代入计算：
$\begin{vmatrix}a&a - 2\\a + 2&a + 1\end{vmatrix}=a(a+1)-(a-2)(a+2)$
展开得：$a^2+a-(a^2-4)$
去括号合并同类项：$a^2+a-a^2+4=a+4$
【答案】
A
【知识点】
二阶行列式运算、整式化简、平方差公式
【点评】
本题主要考查二阶行列式的定义及整式的运算，需准确掌握行列式的计算规则，注意去括号时的符号变化，熟练运用平方差公式简化计算。
【难度系数】
0.8
