1. 下列各式：①$(a + b)(a - x)$；②$(a + b)(b - a)$；③$(-a - b)(a + b)$；④$(a - b)(b - a)$.其中可以用平方差公式计算的是.

1. ②

【解析】
平方差公式的形式为$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，需满足两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数。
①$(a + b)(a - x)$：相同项为$a$，$b$与$x$不是互为相反数，不符合平方差公式特征；
②$(a + b)(b - a)$可变形为$(b+a)(b-a)$，相同项为$b$，$a$与$-a$互为相反数，符合平方差公式特征；
③$(-a - b)(a + b)$可变形为$-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2$，是完全平方形式，不符合平方差公式特征；
④$(a - b)(b - a)$可变形为$-(a-b)(a-b)=-(a-b)^2$，是完全平方形式，不符合平方差公式特征。
综上，可用平方差公式计算的是②。
【答案】
②
【知识点】
平方差公式的特征
【点评】
本题考查平方差公式的应用，关键是准确识别式子中是否存在完全相同的项和互为相反数的项，注意通过合理变形判断式子是否符合公式形式。
【难度系数】
0.8

2. $(1 - 2x)(1 + 2x)$的计算结果是.

2. $ 1 - 4x ^ { 2 } $

【解析】
本题可利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$进行计算，其中$a=1$，$b=2x$，则：
$\begin{aligned}(1 - 2x)(1 + 2x)&=1^2-(2x)^2\\&=1 - 4x^2\end{aligned}$
【答案】
$1 - 4x^2$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题考查平方差公式的直接应用，熟记公式结构是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.9

3. 如图，图1和图2的阴影面积相等，写出一个正确的等式：.

3. $ ( a + 2 ) ( a - 2 ) = a ^ { 2 } - 4 $

【解析】
1. 计算图1阴影面积：图1阴影为长$a+2$、宽$a-2$的长方形，面积为$(a+2)(a-2)$；
2. 计算图2阴影面积：图2阴影为边长为$a$的正方形减去边长为2的正方形，面积为$a^2 - 2^2 = a^2 - 4$；
3. 由于两图阴影面积相等，故可得等式$(a+2)(a-2)=a^2 - 4$。
【答案】
$( a + 2 ) ( a - 2 ) = a ^ { 2 } - 4 $
【知识点】
平方差公式，面积法验证公式
【点评】
本题通过图形面积的两种不同计算方式，验证了平方差公式，体现了数形结合的数学思想，帮助理解整式乘法的几何意义。
【难度系数】
0.8

4. 下列运算正确的是()

A.$(x + 3y)(x - 3y) = x^{2} - 3y^{2}$
B.$(x + 3y)(x - 3y) = x^{2} - 9y^{2}$
C.$(-x + 3y)(x - 3y) = x^{2} - 9y^{2}$
D.$(-x - 3y)(x + 3y) = x^{2} - 9y^{2}$

4. B

【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，对各选项逐一分析：
选项A：$(x + 3y)(x - 3y)=x^2-(3y)^2=x^2-9y^2≠ x^2 - 3y^2$，故A错误；
选项B：$(x + 3y)(x - 3y)=x^2-(3y)^2=x^2-9y^2$，故B正确；
选项C：$(-x + 3y)(x - 3y)=-(x - 3y)(x - 3y)=-(x-3y)^2=-x^2+6xy-9y^2≠ x^2 - 9y^2$，故C错误；
选项D：$(-x - 3y)(x + 3y)=-(x + 3y)(x + 3y)=-(x+3y)^2=-x^2-6xy-9y^2≠ x^2 - 9y^2$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题主要考查平方差公式与完全平方公式的应用，解题关键是准确识别公式的结构特征，注意符号的处理，避免因公式混淆或符号错误导致错选。
【难度系数】
0.8

5. 下列代数式中，与$7x - y^{2}$的乘积等于$y^{4} - 49x^{2}$的是()

A.$7x + y^{2}$
B.$7x - y^{2}$
C.$-7x + y^{2}$
D.$-7x - y^{2}$

5. D

【解析】
首先对$y^{4} - 49x^{2}$进行因式分解：
$y^{4} - 49x^{2}=(y^{2})^{2}-(7x)^{2}$，
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$(y^{2})^{2}-(7x)^{2}=(y^{2}+7x)(y^{2}-7x)$，
变形为：$(y^{2}+7x)(y^{2}-7x)=-(7x+y^{2})(7x-y^{2})=(-7x-y^{2})(7x-y^{2})$，
因此与$7x - y^{2}$的乘积等于$y^{4} - 49x^{2}$的代数式是$-7x - y^{2}$。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题考查平方差公式的逆用及因式分解，需熟练掌握平方差公式的结构特征，注意符号的正确处理，避免因符号失误选错答案。
【难度系数】
0.8

6. 运用平方差公式计算：
(1)$(3 + a)(a - 3)$.
(2)$(-4a + 3)(-4a - 3)$.
(3)$(-\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)$.
(4)$(\frac{1}{2}x - 2)(\frac{1}{2}x + 2) - \frac{1}{4}x(x + 8)$.

6. (1) $ a ^ { 2 } - 9 $ (2) $ 16 a ^ { 2 } - 9 $ (3) $ \frac { 1 } { 4 } b ^ { 2 } - \frac { 1 } { 9 } a ^ { 2 } $ (4) $ - 2 x - 4 $

【解析】
本题可根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$及整式运算法则计算：
(1) 将式子变形为$(a+3)(a-3)$，其中$m=a$，$n=3$，则：
$(3 + a)(a - 3)=a^2-3^2=a^2 - 9$
(2) 式子$(-4a + 3)(-4a - 3)$中，$m=-4a$，$n=3$，根据平方差公式：
$(-4a + 3)(-4a - 3)=(-4a)^2-3^2=16a^2 - 9$
(3) 将式子变形为$(-\frac{1}{2}b-\frac{1}{3}a)(-\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}a)$，其中$m=-\frac{1}{2}b$，$n=\frac{1}{3}a$，则：
$(-\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)(\frac{1}{3}a - \frac{1}{2}b)=(-\frac{1}{2}b)^2-(\frac{1}{3}a)^2=\frac{1}{4}b^2 - \frac{1}{9}a^2$
(4) 先利用平方差公式计算第一部分，单项式乘多项式法则计算第二部分，再合并同类项：
$\begin{aligned}&(\frac{1}{2}x - 2)(\frac{1}{2}x + 2) - \frac{1}{4}x(x + 8)\\=&(\frac{1}{2}x)^2-2^2 - (\frac{1}{4}x^2+2x)\\=&\frac{1}{4}x^2 - 4 - \frac{1}{4}x^2 - 2x\\=& -2x - 4\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 - 9$；(2) $16a^2 - 9$；(3) $\frac{1}{4}b^2 - \frac{1}{9}a^2$；(4) $-2x - 4$
【知识点】
平方差公式，整式的混合运算
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活运用，需注意通过变形将式子转化为平方差公式的标准形式，准确识别公式中的$m$和$n$；第(4)题涉及整式混合运算，要严格遵循运算顺序，注意符号的正确处理。
【难度系数】
0.7