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16. 已知代数式$(mx^{2}+2mx - 1)(x^{m}+3nx + 2)$化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出$m$，$n$的值，并求出一次项系数.
答案
16. 解：$ (mx^{2}+2mx - 1)(x^{m}+3nx + 2)=mx^{m + 2}+3mnx^{3}+2mx^{2}+2mx^{m + 1}+6mnx^{2}+4mx - x^{m}-3nx - 2 $。
$ \because $ 该多项式是四次多项式，
$ \therefore m + 2 = 4 $，解得 $ m = 2 $。
$ \therefore $ 原式 $ = 2x^{4}+(6n + 4)x^{3}+(3 + 12n)x^{2}+(8 - 3n)x - 2 $。
$ \because $ 多项式不含二次项，
$ \therefore 3 + 12n = 0 $，解得 $ n = -\frac{1}{4} $。
$ \therefore $ 一次项系数 $ 8 - 3n=\frac{35}{4} $。
$ \because $ 该多项式是四次多项式，
$ \therefore m + 2 = 4 $，解得 $ m = 2 $。
$ \therefore $ 原式 $ = 2x^{4}+(6n + 4)x^{3}+(3 + 12n)x^{2}+(8 - 3n)x - 2 $。
$ \because $ 多项式不含二次项，
$ \therefore 3 + 12n = 0 $，解得 $ n = -\frac{1}{4} $。
$ \therefore $ 一次项系数 $ 8 - 3n=\frac{35}{4} $。
解析
【解析】
首先将代数式展开：
$(mx^{2}+2mx - 1)(x^{m}+3nx + 2)=mx^{m + 2}+3mnx^{3}+2mx^{2}+2mx^{m + 1}+6mnx^{2}+4mx - x^{m}-3nx - 2$
因为该多项式是四次多项式，所以最高次项的次数为4，即$m + 2 = 4$，解得$m = 2$。
将$m=2$代入原式，化简得：
原式$=2x^{4}+(6n + 4)x^{3}+(3 + 12n)x^{2}+(8 - 3n)x - 2$
又因为多项式不含二次项，所以二次项系数为0，即$3 + 12n = 0$，解得$n = -\frac{1}{4}$。
将$n=-\frac{1}{4}$代入一次项系数$8 - 3n$，计算得一次项系数为$\frac{35}{4}$。
【答案】
$m=2$，$n=-\frac{1}{4}$，一次项系数为$\frac{35}{4}$。
【知识点】
多项式乘法运算、多项式的次数与项的定义、一元一次方程解法
【点评】
本题考查多项式的乘法运算及多项式的相关概念，需要根据多项式的次数和不含二次项的条件建立方程求解，既考验运算能力，也要求对多项式的性质有清晰理解。
【难度系数】
0.6
首先将代数式展开：
$(mx^{2}+2mx - 1)(x^{m}+3nx + 2)=mx^{m + 2}+3mnx^{3}+2mx^{2}+2mx^{m + 1}+6mnx^{2}+4mx - x^{m}-3nx - 2$
因为该多项式是四次多项式，所以最高次项的次数为4，即$m + 2 = 4$，解得$m = 2$。
将$m=2$代入原式，化简得：
原式$=2x^{4}+(6n + 4)x^{3}+(3 + 12n)x^{2}+(8 - 3n)x - 2$
又因为多项式不含二次项，所以二次项系数为0，即$3 + 12n = 0$，解得$n = -\frac{1}{4}$。
将$n=-\frac{1}{4}$代入一次项系数$8 - 3n$，计算得一次项系数为$\frac{35}{4}$。
【答案】
$m=2$，$n=-\frac{1}{4}$，一次项系数为$\frac{35}{4}$。
【知识点】
多项式乘法运算、多项式的次数与项的定义、一元一次方程解法
【点评】
本题考查多项式的乘法运算及多项式的相关概念，需要根据多项式的次数和不含二次项的条件建立方程求解，既考验运算能力，也要求对多项式的性质有清晰理解。
【难度系数】
0.6
17. 已知$a^{1}$，$a^{2}$，$a^{3}$，$···$，$a^{2025}$都是正整数，设$M=(a^{1}+a^{2}+···+a^{2024})(a^{2}+a^{3}+a^{4}+···+a^{2025})$，$N=(a^{1}+a^{2}+a^{3}+···+a^{2025})(a^{2}+a^{3}+a^{4}+···+a^{2024})$，试比较$M$，$N$的大小关系.
答案
17. 解：设 $ x = a^{1}+a^{2}+a^{3}+··· + a^{2024}+a^{2025} $，
则 $ M=(x - a^{2025})(x - a^{1})=x^{2}-(a^{1}+a^{2025})x + a^{1}· a^{2025} $，
$ N = x·(x - a^{1}-a^{2025})=x^{2}-(a^{1}+a^{2025})x $，
$ \therefore M ＞ N $。
则 $ M=(x - a^{2025})(x - a^{1})=x^{2}-(a^{1}+a^{2025})x + a^{1}· a^{2025} $，
$ N = x·(x - a^{1}-a^{2025})=x^{2}-(a^{1}+a^{2025})x $，
$ \therefore M ＞ N $。
解析
【解析】
设$x = a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{2024}+a_{2025}$，
则$M=(x - a_{2025})(x - a_{1})=x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x + a_{1}·a_{2025}$，
$N = x·(x - a_{1}-a_{2025})=x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x$，
因为$a_{1}$，$a_{2025}$都是正整数，所以$a_{1}·a_{2025}＞0$，
则$M - N = [x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x + a_{1}·a_{2025}] - [x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x] = a_{1}·a_{2025}＞0$，
故$M＞N$。
【答案】
$M＞N$
【知识点】
换元法，整式乘法，作差比较大小
【点评】
本题运用换元法简化复杂整式运算，结合作差法比较大小，凸显整体思想的妙用，可有效降低计算复杂度，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
设$x = a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{2024}+a_{2025}$，
则$M=(x - a_{2025})(x - a_{1})=x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x + a_{1}·a_{2025}$，
$N = x·(x - a_{1}-a_{2025})=x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x$，
因为$a_{1}$，$a_{2025}$都是正整数，所以$a_{1}·a_{2025}＞0$，
则$M - N = [x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x + a_{1}·a_{2025}] - [x^{2}-(a_{1}+a_{2025})x] = a_{1}·a_{2025}＞0$，
故$M＞N$。
【答案】
$M＞N$
【知识点】
换元法，整式乘法，作差比较大小
【点评】
本题运用换元法简化复杂整式运算，结合作差法比较大小，凸显整体思想的妙用，可有效降低计算复杂度，提升解题效率。
【难度系数】
0.6
