登录
12. 下面计算$(-7 + a + b)(-7 - b - a)$正确的是(
A.原式$= (-7 + a + b)[-7 - (a + b)] = -7^{2} - (a + b)^{2}$
B.原式$= (-7 + a + b)[-7 - (a + b)] = 7^{2} - (a + b)^{2}$
C.原式$= [- (7 - a - b)][- (7 + a + b)] = 7^{2} - (a + b)^{2}$
D.原式$= [- (7 + a) + b][- (7 + a) - b] = (7 + a)^{2} - b^{2}$
B
)A.原式$= (-7 + a + b)[-7 - (a + b)] = -7^{2} - (a + b)^{2}$
B.原式$= (-7 + a + b)[-7 - (a + b)] = 7^{2} - (a + b)^{2}$
C.原式$= [- (7 - a - b)][- (7 + a + b)] = 7^{2} - (a + b)^{2}$
D.原式$= [- (7 + a) + b][- (7 + a) - b] = (7 + a)^{2} - b^{2}$
答案
12. B
解析
【解析】
结合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$和添括号法则逐一分析选项：
选项A：将原式变形为$(-7 + a + b)[-7 - (a + b)]$后，错误计算为$-7^2 - (a + b)^2$，注意$-7^2=-49$，而$(-7)^2=49$，正确结果应为$(-7)^2 - (a + b)^2=7^2 - (a + b)^2$，故A错误。
选项B：先通过添括号将原式变形为$(-7 + a + b)[-7 - (a + b)]$，此时式子符合平方差公式的结构（其中$x=-7$，$y=a+b$），计算得$(-7)^2 - (a + b)^2=7^2 - (a + b)^2$，故B正确。
选项C：虽然变形$[- (7 - a - b)][- (7 + a + b)]=(7 - a - b)(7 + a + b)$正确，但该变形与原式的对应关系逻辑不直接，且推导过程存在冗余，故C错误。
选项D：错误地将原式变形为$[- (7 + a) + b][- (7 + a) - b]$，因为$(-7 + a + b)=-7 + a + b≠-(7 + a)+b$（$-(7 + a)+b=-7 -a +b$），故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、添括号法则
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构特征及应用，需准确识别公式中的$x$和$y$，同时注意区分$-7^2$与$(-7)^2$的运算差异，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
结合平方差公式$(x+y)(x-y)=x^2-y^2$和添括号法则逐一分析选项：
选项A：将原式变形为$(-7 + a + b)[-7 - (a + b)]$后，错误计算为$-7^2 - (a + b)^2$，注意$-7^2=-49$，而$(-7)^2=49$，正确结果应为$(-7)^2 - (a + b)^2=7^2 - (a + b)^2$，故A错误。
选项B：先通过添括号将原式变形为$(-7 + a + b)[-7 - (a + b)]$，此时式子符合平方差公式的结构（其中$x=-7$，$y=a+b$），计算得$(-7)^2 - (a + b)^2=7^2 - (a + b)^2$，故B正确。
选项C：虽然变形$[- (7 - a - b)][- (7 + a + b)]=(7 - a - b)(7 + a + b)$正确，但该变形与原式的对应关系逻辑不直接，且推导过程存在冗余，故C错误。
选项D：错误地将原式变形为$[- (7 + a) + b][- (7 + a) - b]$，因为$(-7 + a + b)=-7 + a + b≠-(7 + a)+b$（$-(7 + a)+b=-7 -a +b$），故D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式、添括号法则
【点评】
本题重点考查平方差公式的结构特征及应用，需准确识别公式中的$x$和$y$，同时注意区分$-7^2$与$(-7)^2$的运算差异，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
13. 运用平方差公式计算：
(1)$(2a - b)(4a^{2} + b^{2})(2a + b)$.
(2)$(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4})$.
(1)$(2a - b)(4a^{2} + b^{2})(2a + b)$.
(2)$(x - y)(x + y)(x^{2} + y^{2})(x^{4} + y^{4})$.
答案
13. (1) 原式 $ = ( 4 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) ( 4 a ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) = 16 a ^ { 4 } - b ^ { 4 } $
(2) 原式 $ = x ^ { 8 } - y ^ { 8 } $
(2) 原式 $ = x ^ { 8 } - y ^ { 8 } $
解析
【解析】
(1) 先利用乘法交换律调整运算顺序，将$(2a - b)$与$(2a + b)$结合，根据平方差公式计算：
原式$=(2a - b)(2a + b)(4a^{2} + b^{2})$
$=(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$
再利用平方差公式计算得：
$=16a^4 - b^4$
(2) 逐步利用平方差公式计算：
原式$=(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$
$=(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$
$=x^8 - y^8$
【答案】
(1) $\boxed{16a^4 - b^4}$；(2) $\boxed{x^8 - y^8}$
【知识点】
平方差公式、乘法交换律
【点评】
本题考查平方差公式的多次运用，通过调整运算顺序优先计算符合平方差公式的项，可简化运算，需熟练掌握平方差公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
(1) 先利用乘法交换律调整运算顺序，将$(2a - b)$与$(2a + b)$结合，根据平方差公式计算：
原式$=(2a - b)(2a + b)(4a^{2} + b^{2})$
$=(4a^2 - b^2)(4a^2 + b^2)$
再利用平方差公式计算得：
$=16a^4 - b^4$
(2) 逐步利用平方差公式计算：
原式$=(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$
$=(x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$
$=x^8 - y^8$
【答案】
(1) $\boxed{16a^4 - b^4}$；(2) $\boxed{x^8 - y^8}$
【知识点】
平方差公式、乘法交换律
【点评】
本题考查平方差公式的多次运用，通过调整运算顺序优先计算符合平方差公式的项，可简化运算，需熟练掌握平方差公式的结构特征。
【难度系数】
0.8
14. 运用平方差公式计算：
(1)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$.
(2)$\frac{2025^{2}}{2026×2024 + 1}$.
(1)$(2 + 1)(2^{2} + 1)(2^{4} + 1)(2^{8} + 1)$.
(2)$\frac{2025^{2}}{2026×2024 + 1}$.
答案
14. (1) 原式 $ = 2 ^ { 16 } - 1 $
(2) 原式 $ = \frac { 2025 ^ { 2 } } { ( 2025 + 1 ) × ( 2025 - 1 ) + 1 } = \frac { 2025 ^ { 2 } } { 2025 ^ { 2 } - 1 + 1 } = 1 $
(2) 原式 $ = \frac { 2025 ^ { 2 } } { ( 2025 + 1 ) × ( 2025 - 1 ) + 1 } = \frac { 2025 ^ { 2 } } { 2025 ^ { 2 } - 1 + 1 } = 1 $
解析
【解析】
(1) 先给原式乘以(2-1)（值为1，不改变原式结果），再连续运用平方差公式计算：
原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)
=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)
=(2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)
=(2⁸-1)(2⁸+1)
=2¹⁶-1
(2) 将分母中的2026转化为2025+1，2024转化为2025-1，再运用平方差公式化简分母：
原式=$\frac{2025^{2}}{(2025 + 1)×(2025 - 1) + 1}$
=$\frac{2025^{2}}{2025^{2} - 1 + 1}$
=$\frac{2025^{2}}{2025^{2}}$
=1
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{16}-1}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
平方差公式，代数式化简
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，第(1)问需构造平方差公式的使用条件，第(2)问需对分母进行变形转化，通过简化计算提升运算效率，锻炼学生的运算技巧与思维灵活性。
【难度系数】
0.4
(1) 先给原式乘以(2-1)（值为1，不改变原式结果），再连续运用平方差公式计算：
原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)
=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)
=(2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)
=(2⁸-1)(2⁸+1)
=2¹⁶-1
(2) 将分母中的2026转化为2025+1，2024转化为2025-1，再运用平方差公式化简分母：
原式=$\frac{2025^{2}}{(2025 + 1)×(2025 - 1) + 1}$
=$\frac{2025^{2}}{2025^{2} - 1 + 1}$
=$\frac{2025^{2}}{2025^{2}}$
=1
【答案】
(1) $\boldsymbol{2^{16}-1}$；(2) $\boldsymbol{1}$
【知识点】
平方差公式，代数式化简
【点评】
本题考查平方差公式的灵活运用，第(1)问需构造平方差公式的使用条件，第(2)问需对分母进行变形转化，通过简化计算提升运算效率，锻炼学生的运算技巧与思维灵活性。
【难度系数】
0.4
