登录
16. 先阅读下面例题的解答过程，然后再解答问题：
例：若多项式$2x^{3}-x^{2}+m$分解因式的结果中有因式$2x + 1$，求实数$m$的值。
解法一：设$2x^{3}-x^{2}+m=(2x + 1)(x^{2}+ax + b)$，
则$2x^{3}-x^{2}+m=2x^{3}+(2a + 1)x^{2}+(a + 2b)x + b$。
比较系数得$\begin{cases}2a + 1=-1,\\a + 2b=0,\\b=m,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=\frac{1}{2},\\m=\frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore m=\frac{1}{2}$。
解法二：设$2x^{3}-x^{2}+m=A·(2x + 1)$（$A$为整式）。
由于上式为恒等式，为方便计算，取$x=-\frac{1}{2}$，得$2×(-\frac{1}{2})^{3}-(-\frac{1}{2})^{2}+m=0$，故$m=\frac{1}{2}$。
若多项式$x^{3}+5x^{2}+7x + q$分解因式的结果中有因式$x + 1$，求实数$q$的值。（用两种不同的方法求解）
例：若多项式$2x^{3}-x^{2}+m$分解因式的结果中有因式$2x + 1$，求实数$m$的值。
解法一：设$2x^{3}-x^{2}+m=(2x + 1)(x^{2}+ax + b)$，
则$2x^{3}-x^{2}+m=2x^{3}+(2a + 1)x^{2}+(a + 2b)x + b$。
比较系数得$\begin{cases}2a + 1=-1,\\a + 2b=0,\\b=m,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=-1,\\b=\frac{1}{2},\\m=\frac{1}{2},\end{cases}$
$\therefore m=\frac{1}{2}$。
解法二：设$2x^{3}-x^{2}+m=A·(2x + 1)$（$A$为整式）。
由于上式为恒等式，为方便计算，取$x=-\frac{1}{2}$，得$2×(-\frac{1}{2})^{3}-(-\frac{1}{2})^{2}+m=0$，故$m=\frac{1}{2}$。
若多项式$x^{3}+5x^{2}+7x + q$分解因式的结果中有因式$x + 1$，求实数$q$的值。（用两种不同的方法求解）
答案
16. 解：解法一：设$x^{3}+5x^{2}+7x + q=(x + 1)(x^{2}+ax + b)$
则$x^{3}+5x^{2}+7x + q = x^{3}+(a + 1)x^{2}+(a + b)x + b$
比较系数得$\begin{cases}a + 1 = 5\\a + b = 7\\q = b\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4\\b = 3\\q = 3\end{cases}$
$\therefore q = 3$
解法二：设$x^{3}+5x^{2}+7x + q = A·(x + 1)$（A 为整式），
由于上式为恒等式，可取$x = -1$，得$(-1)^{3}+5×(-1)^{2}+7×(-1)+q = 0$，
故$q = 3$
则$x^{3}+5x^{2}+7x + q = x^{3}+(a + 1)x^{2}+(a + b)x + b$
比较系数得$\begin{cases}a + 1 = 5\\a + b = 7\\q = b\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4\\b = 3\\q = 3\end{cases}$
$\therefore q = 3$
解法二：设$x^{3}+5x^{2}+7x + q = A·(x + 1)$（A 为整式），
由于上式为恒等式，可取$x = -1$，得$(-1)^{3}+5×(-1)^{2}+7×(-1)+q = 0$，
故$q = 3$
解析
【解析】
解法一：设$x^{3}+5x^{2}+7x + q=(x + 1)(x^{2}+ax + b)$，
则$x^{3}+5x^{2}+7x + q = x^{3}+(a + 1)x^{2}+(a + b)x + b$。
比较系数得$\begin{cases}a + 1 = 5\\a + b = 7\\q = b\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 4\\b = 3\\q = 3\end{cases}$，
$\therefore q = 3$。
解法二：设$x^{3}+5x^{2}+7x + q = A·(x + 1)$（$A$为整式），
由于上式为恒等式，可取$x = -1$，得$(-1)^{3}+5×(-1)^{2}+7×(-1)+q = 0$，
计算得$-1 + 5 - 7 + q = 0$，解得$q = 3$。
【答案】
$\boldsymbol{q=3}$
【知识点】
多项式因式分解、待定系数法
【点评】
本题考查因式分解的应用，通过模仿例题的两种解法，分别运用待定系数法和赋值法求解参数，赋值法相对简便，需熟练掌握这类方法解决含因式条件的参数求解问题。
【难度系数】
0.7
解法一：设$x^{3}+5x^{2}+7x + q=(x + 1)(x^{2}+ax + b)$，
则$x^{3}+5x^{2}+7x + q = x^{3}+(a + 1)x^{2}+(a + b)x + b$。
比较系数得$\begin{cases}a + 1 = 5\\a + b = 7\\q = b\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a = 4\\b = 3\\q = 3\end{cases}$，
$\therefore q = 3$。
解法二：设$x^{3}+5x^{2}+7x + q = A·(x + 1)$（$A$为整式），
由于上式为恒等式，可取$x = -1$，得$(-1)^{3}+5×(-1)^{2}+7×(-1)+q = 0$，
计算得$-1 + 5 - 7 + q = 0$，解得$q = 3$。
【答案】
$\boldsymbol{q=3}$
【知识点】
多项式因式分解、待定系数法
【点评】
本题考查因式分解的应用，通过模仿例题的两种解法，分别运用待定系数法和赋值法求解参数，赋值法相对简便，需熟练掌握这类方法解决含因式条件的参数求解问题。
【难度系数】
0.7
