14. 已知二次三项式$x^{2}-ax - 1$可以分解为$(x + 2)(x + b)$，求$a$和$b$的值。

14. $a = -\frac{3}{2},b = -\frac{1}{2}$

【解析】
将$(x + 2)(x + b)$展开：
$(x + 2)(x + b)=x^2+(b+2)x+2b$
因为$x^2 - ax - 1=(x + 2)(x + b)$，根据多项式对应系数相等，可得：
$\begin{cases}b + 2 = -a\\2b = -1\end{cases}$
解$2b=-1$，得$b=-\frac{1}{2}$。
将$b=-\frac{1}{2}$代入$b + 2 = -a$，得：
$-\frac{1}{2}+2=-a$，即$\frac{3}{2}=-a$，解得$a=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$a = -\frac{3}{2},b = -\frac{1}{2}$
【知识点】
多项式乘法、对应系数相等法、因式分解逆运算
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆关系，通过多项式展开后对应系数相等建立方程求解参数，要求熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，属于基础题型。
【难度系数】
0.7

15. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们称这个正整数为“和谐数”，如：$4=2^{2}-0^{2}$，$12=4^{2}-2^{2}$，$20=6^{2}-4^{2}$，因此$4$，$12$，$20$这三个数都是“和谐数”。
（1）$36$和$2020$这两个数是“和谐数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为$2k + 2$和$2k$（其中取非负整数），由这两个连续偶数构成的“和谐数”是$4$的倍数吗？为什么？

15. 解：(1)36 和 2 020 是“和谐数”，$36 = 10^{2}-8^{2}$，$2020 = 506^{2}-504^{2}$
(2)是 4 的倍数，$(2k + 2)^{2}-(2k)^{2}=(2k + 2 - 2k)(2k + 2 + 2k)=2(4k + 2)=4(2k + 1)$

【解析】
（1）根据“和谐数”的定义判断：
因为$36=10^2 - 8^2$，10和8是两个连续偶数；$2020=506^2 - 504^2$，506和504是两个连续偶数，所以36和2020是“和谐数”。
（2）利用平方差公式计算验证：
$(2k+2)^2 - (2k)^2=(2k+2-2k)(2k+2+2k)=2(4k+2)=4(2k+1)$，
因为k是非负整数，$2k+1$是正整数，所以由这两个连续偶数构成的“和谐数”是4的倍数。
【答案】
（1）36和2020是“和谐数”，理由见解析；
（2）是4的倍数，理由见解析。
【知识点】
平方差公式，整式运算，新定义问题
【点评】
本题以新定义“和谐数”为背景，核心考查平方差公式的应用，理解“和谐数”的定义是解题基础，通过整式运算可推导出相关数的特征，锻炼对公式的运用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6