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8. 验证下列因式分解是否正确。
（1）$-6a^{2}+3a=-3a(2a + 1)$。
（2）$x^{3}-2x^{2}y + xy^{2}=x(x - y)^{2}$。
（1）$-6a^{2}+3a=-3a(2a + 1)$。
（2）$x^{3}-2x^{2}y + xy^{2}=x(x - y)^{2}$。
答案
8. (1)不正确 (2)正确
解析
【解析】
（1）将右边展开：$-3a(2a + 1) = -6a^2 - 3a$，与左边$-6a^2 + 3a$不相等，因此该因式分解不正确。
（2）将右边展开：$x(x - y)^2 = x(x^2 - 2xy + y^2) = x^3 - 2x^2y + xy^2$，与左边相等，因此该因式分解正确。
【答案】
(1) 不正确；(2) 正确
【知识点】
因式分解验证、提公因式法、完全平方公式
【点评】
验证因式分解是否正确，可通过将分解后的式子展开与原式对比。提取公因式时需注意符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
（1）将右边展开：$-3a(2a + 1) = -6a^2 - 3a$，与左边$-6a^2 + 3a$不相等，因此该因式分解不正确。
（2）将右边展开：$x(x - y)^2 = x(x^2 - 2xy + y^2) = x^3 - 2x^2y + xy^2$，与左边相等，因此该因式分解正确。
【答案】
(1) 不正确；(2) 正确
【知识点】
因式分解验证、提公因式法、完全平方公式
【点评】
验证因式分解是否正确，可通过将分解后的式子展开与原式对比。提取公因式时需注意符号，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
9. 用简便方法计算：
（1）$187^{2}+187×13$。
（2）$2027^{2}-2026^{2}$。
（1）$187^{2}+187×13$。
（2）$2027^{2}-2026^{2}$。
答案
9. (1)37 400 (2)4 053
解析
【解析】
（1）利用提取公因式法简便计算：
$187^{2}+187×13$
$=187×(187+13)$
$=187×200$
$=37400$
（2）利用平方差公式简便计算：
$2027^{2}-2026^{2}$
$=(2027-2026)×(2027+2026)$
$=1×4053$
$=4053$
【答案】
（1）$\boldsymbol{37400}$；（2）$\boldsymbol{4053}$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的简便运算，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
（1）利用提取公因式法简便计算：
$187^{2}+187×13$
$=187×(187+13)$
$=187×200$
$=37400$
（2）利用平方差公式简便计算：
$2027^{2}-2026^{2}$
$=(2027-2026)×(2027+2026)$
$=1×4053$
$=4053$
【答案】
（1）$\boldsymbol{37400}$；（2）$\boldsymbol{4053}$
【知识点】
提取公因式法，平方差公式
【点评】
本题考查因式分解的简便运算，熟练掌握提取公因式法和平方差公式是解题关键。
【难度系数】
0.7
10. 若$x^{2}+mx + n$分解因式的结果是$(x + 2)(x - 1)$，则$m + n$的值为
$-1$
。答案
10. $-1$
解析
【解析】
先将$(x + 2)(x - 1)$展开：
$(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$
因为$x^2 + mx + n = x^2 + x - 2$，根据多项式相等的对应系数相等，可得$m=1$，$n=-2$。
则$m + n = 1 + (-2) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系、多项式相等的条件
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆运算，需通过多项式乘法展开因式分解结果，利用对应系数相等求出参数，进而计算代数式的值，属于基础题型，需熟练掌握多项式乘法法则。
【难度系数】
0.9
先将$(x + 2)(x - 1)$展开：
$(x + 2)(x - 1) = x^2 - x + 2x - 2 = x^2 + x - 2$
因为$x^2 + mx + n = x^2 + x - 2$，根据多项式相等的对应系数相等，可得$m=1$，$n=-2$。
则$m + n = 1 + (-2) = -1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
因式分解与整式乘法的互逆关系、多项式相等的条件
【点评】
本题考查因式分解与整式乘法的互逆运算，需通过多项式乘法展开因式分解结果，利用对应系数相等求出参数，进而计算代数式的值，属于基础题型，需熟练掌握多项式乘法法则。
【难度系数】
0.9
11. 如图，由一个边长为$a$的小正方形与两个长、宽分别为$a$，$b$的小长方形拼接成长方形$ABCD$，则整个图形的面积表示为$3$个图形的面积和是
$a^{2}+2ab$
，表示为长方形的面积是$a(a + 2b)$
，由此可得到的等式是$a^{2}+2ab = a(a + 2b)$
。答案
11. $a^{2}+2ab$ $a(a + 2b)$ $a^{2}+2ab = a(a + 2b)$
解析
【解析】
1. 计算3个图形的面积和：边长为$a$的正方形面积为$a^2$，两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积和为$2ab$，因此总面积为$a^2 + 2ab$；
2. 计算长方形$ABCD$的面积：长方形的长为$a + 2b$，宽为$a$，根据长方形面积公式可得面积为$a(a + 2b)$；
3. 由于两种方式表示的是同一图形的面积，故得到等式$a^2 + 2ab = a(a + 2b)$。
【答案】
$a^{2}+2ab$；$a(a + 2b)$；$a^{2}+2ab = a(a + 2b)$
【知识点】
单项式乘多项式；图形面积表示；因式分解
【点评】
本题借助数形结合的思想，通过同一图形面积的两种不同表示方法，直观验证了整式乘法与因式分解的关系，帮助理解代数运算的几何意义，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
1. 计算3个图形的面积和：边长为$a$的正方形面积为$a^2$，两个长为$a$、宽为$b$的长方形面积和为$2ab$，因此总面积为$a^2 + 2ab$；
2. 计算长方形$ABCD$的面积：长方形的长为$a + 2b$，宽为$a$，根据长方形面积公式可得面积为$a(a + 2b)$；
3. 由于两种方式表示的是同一图形的面积，故得到等式$a^2 + 2ab = a(a + 2b)$。
【答案】
$a^{2}+2ab$；$a(a + 2b)$；$a^{2}+2ab = a(a + 2b)$
【知识点】
单项式乘多项式；图形面积表示；因式分解
【点评】
本题借助数形结合的思想，通过同一图形面积的两种不同表示方法，直观验证了整式乘法与因式分解的关系，帮助理解代数运算的几何意义，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
12. 如果$25^{8}+5^{15}$能被$n$整除，那么$n$的值可能是(
A.$20$
B.$30$
C.$35$
D.$40$
B
)A.$20$
B.$30$
C.$35$
D.$40$
答案
12. B
解析
【解析】
先对原式进行恒等变形：
因为$25=5^2$，根据幂的乘方运算法则，$25^8=(5^2)^8=5^{16}$，
则$25^8 +5^{15}=5^{16}+5^{15}$，
提取公因式$5^{15}$可得：$5^{15}(5+1)=5^{15}×6=5^{14}×30$，
因此$25^8 +5^{15}$能被30整除，故n的值可能是30。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算，提取公因式法，整除判定
【点评】
本题考查幂的运算性质与因式分解的综合应用，通过变形原式提取公因式，明确原式的因数，从而确定可整除它的数，要求学生熟练掌握幂的乘方和提取公因式的方法。
【难度系数】
0.6
先对原式进行恒等变形：
因为$25=5^2$，根据幂的乘方运算法则，$25^8=(5^2)^8=5^{16}$，
则$25^8 +5^{15}=5^{16}+5^{15}$，
提取公因式$5^{15}$可得：$5^{15}(5+1)=5^{15}×6=5^{14}×30$，
因此$25^8 +5^{15}$能被30整除，故n的值可能是30。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算，提取公因式法，整除判定
【点评】
本题考查幂的运算性质与因式分解的综合应用，通过变形原式提取公因式，明确原式的因数，从而确定可整除它的数，要求学生熟练掌握幂的乘方和提取公因式的方法。
【难度系数】
0.6
13. 如果$x - 2$是多项式$x^{2}-6x + m$的一个因式，那么$m$的值为(
A.$8$
B.$-8$
C.$2$
D.$-2$
A
)A.$8$
B.$-8$
C.$2$
D.$-2$
答案
13. A
解析
【解析】
因为$x - 2$是多项式$x^{2}-6x + m$的一个因式，根据因式的性质，当$x=2$时，多项式$x^{2}-6x + m$的值为0。
将$x=2$代入多项式得：
$2^{2}-6×2 + m=0$
即$4 - 12 + m=0$，
解得$m=8$。
【答案】
A
【知识点】
因式的性质、代数式求值
【点评】
本题考查因式的基本性质，通过代入因式对应的根使多项式值为0来求解参数，题型基础，有助于巩固因式相关概念。
【难度系数】
0.8
因为$x - 2$是多项式$x^{2}-6x + m$的一个因式，根据因式的性质，当$x=2$时，多项式$x^{2}-6x + m$的值为0。
将$x=2$代入多项式得：
$2^{2}-6×2 + m=0$
即$4 - 12 + m=0$，
解得$m=8$。
【答案】
A
【知识点】
因式的性质、代数式求值
【点评】
本题考查因式的基本性质，通过代入因式对应的根使多项式值为0来求解参数，题型基础，有助于巩固因式相关概念。
【难度系数】
0.8
