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1. 分别写出下列多项式各项的公因式.
(1)$ax + ay$：
(2)$4m^{2}-6m$：
(3)$25a^{3}b^{2}+15a^{2}b - 5a^{3}b^{3}$：
(4)$m(x + y)+n(y + x)$：
(1)$ax + ay$：
$ a $
.(2)$4m^{2}-6m$：
$ 2m $
.(3)$25a^{3}b^{2}+15a^{2}b - 5a^{3}b^{3}$：
$ 5a^{2}b $
.(4)$m(x + y)+n(y + x)$：
$ (x + y) $
.答案
1. (1) $ a $ (2) $ 2m $ (3) $ 5a^{2}b $ (4) $ (x + y) $
解析
【解析】
(1) 对于多项式$ax + ay$，各项系数的最大公约数为1，相同字母为$a$且最低次幂为1，故公因式为$a$；
(2) 对于多项式$4m^{2}-6m$，各项系数4和6的最大公约数为2，相同字母$m$的最低次幂为1，故公因式为$2m$；
(3) 对于多项式$25a^{3}b^{2}+15a^{2}b - 5a^{3}b^{3}$，各项系数25、15、-5的最大公约数为5，相同字母$a$的最低次幂为2，$b$的最低次幂为1，故公因式为$5a^{2}b$；
(4) 对于多项式$m(x + y)+n(y + x)$，$(y+x)$与$(x+y)$是相同的整体因式，故公因式为$(x + y)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a}$；(2) $\boldsymbol{2m}$；(3) $\boldsymbol{5a^{2}b}$；(4) $\boldsymbol{(x + y)}$
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题为基础题型，考查公因式的确定方法，需掌握系数取最大公约数、相同字母取最低次幂，以及整体因式的识别，是提公因式法分解因式的基础，帮助夯实因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.9
(1) 对于多项式$ax + ay$，各项系数的最大公约数为1，相同字母为$a$且最低次幂为1，故公因式为$a$；
(2) 对于多项式$4m^{2}-6m$，各项系数4和6的最大公约数为2，相同字母$m$的最低次幂为1，故公因式为$2m$；
(3) 对于多项式$25a^{3}b^{2}+15a^{2}b - 5a^{3}b^{3}$，各项系数25、15、-5的最大公约数为5，相同字母$a$的最低次幂为2，$b$的最低次幂为1，故公因式为$5a^{2}b$；
(4) 对于多项式$m(x + y)+n(y + x)$，$(y+x)$与$(x+y)$是相同的整体因式，故公因式为$(x + y)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{a}$；(2) $\boldsymbol{2m}$；(3) $\boldsymbol{5a^{2}b}$；(4) $\boldsymbol{(x + y)}$
【知识点】
公因式的确定
【点评】
本题为基础题型，考查公因式的确定方法，需掌握系数取最大公约数、相同字母取最低次幂，以及整体因式的识别，是提公因式法分解因式的基础，帮助夯实因式分解的相关知识。
【难度系数】
0.9
2. 下列多项式中，能用提取公因式法分解因式的是(
A.$x^{2}-y$
B.$x^{2}+2x$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$x^{2}-xy + y^{2}$
B
)A.$x^{2}-y$
B.$x^{2}+2x$
C.$x^{2}+y^{2}$
D.$x^{2}-xy + y^{2}$
答案
2. B
解析
【解析】
提取公因式法分解因式的核心是多项式各项存在公因式。
A选项：$x^2 - y$的两项无公因式，无法用提取公因式法分解；
B选项：$x^2 + 2x$的两项公因式为$x$，可分解为$x(x+2)$，能用提取公因式法分解；
C选项：$x^2 + y^2$的两项无公因式，无法用提取公因式法分解；
D选项：$x^2 - xy + y^2$的三项无公因式，无法用提取公因式法分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式法分解因式
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式的应用，解题关键是准确判断多项式各项是否存在公因式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
提取公因式法分解因式的核心是多项式各项存在公因式。
A选项：$x^2 - y$的两项无公因式，无法用提取公因式法分解；
B选项：$x^2 + 2x$的两项公因式为$x$，可分解为$x(x+2)$，能用提取公因式法分解；
C选项：$x^2 + y^2$的两项无公因式，无法用提取公因式法分解；
D选项：$x^2 - xy + y^2$的三项无公因式，无法用提取公因式法分解。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提取公因式法分解因式
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式的应用，解题关键是准确判断多项式各项是否存在公因式，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 若多项式$-6a^{2}b + 18abm + 24ab^{2}n$的一个因式是$-6ab$，则另一个因式是(
A.$-1 - 3m + 4n$
B.$a + 3m - 4bn$
C.$-a - 3m - 4bn$
D.$a - 3m - 4bn$
D
)A.$-1 - 3m + 4n$
B.$a + 3m - 4bn$
C.$-a - 3m - 4bn$
D.$a - 3m - 4bn$
答案
3. D
解析
【解析】
用原多项式除以已知因式$-6ab$，分别计算每一项的商：
$-6a^{2}b÷(-6ab)=a$，
$18abm÷(-6ab)=-3m$，
$24ab^{2}n÷(-6ab)=-4bn$，
将各项的商相加得到另一个因式为$a - 3m - 4bn$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的逆用，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
用原多项式除以已知因式$-6ab$，分别计算每一项的商：
$-6a^{2}b÷(-6ab)=a$，
$18abm÷(-6ab)=-3m$，
$24ab^{2}n÷(-6ab)=-4bn$，
将各项的商相加得到另一个因式为$a - 3m - 4bn$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的逆用，熟练掌握多项式除以单项式的运算法则是解题关键，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 把多项式$m(m - 1)+(m - 1)$提取公因式$(m - 1)$后，余下的部分是(
A.$m + 1$
B.$m$
C.$2$
D.$m + 2$
A
)A.$m + 1$
B.$m$
C.$2$
D.$m + 2$
答案
4. A
解析
【解析】
对多项式$m(m - 1)+(m - 1)$提取公因式$(m - 1)$，可得：
$m(m - 1)+(m - 1)=(m - 1)(m + 1)$，因此余下的部分是$m + 1$。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，解题关键是准确识别公因式并完成提取，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
对多项式$m(m - 1)+(m - 1)$提取公因式$(m - 1)$，可得：
$m(m - 1)+(m - 1)=(m - 1)(m + 1)$，因此余下的部分是$m + 1$。
【答案】
A
【知识点】
提取公因式法
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，解题关键是准确识别公因式并完成提取，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
5. 若$x + y = 2$，$xy=-3$，则代数式$x^{2}y + xy^{2}=$(
A.$-6$
B.$5$
C.$-1$
D.$-5$
A
)A.$-6$
B.$5$
C.$-1$
D.$-5$
答案
5. A
解析
【解析】
先对代数式进行因式分解：
$x^{2}y + xy^{2} = xy(x + y)$
将$x + y = 2$，$xy=-3$代入上式：
$xy(x + y) = -3×2 = -6$
【答案】
A
【知识点】
提取公因式因式分解，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的应用，通过提取公因式将待求代数式转化为含已知条件的形式，利用整体代入法快速求值，注重对基础运算能力和转化思想的考查。
【难度系数】
0.8
先对代数式进行因式分解：
$x^{2}y + xy^{2} = xy(x + y)$
将$x + y = 2$，$xy=-3$代入上式：
$xy(x + y) = -3×2 = -6$
【答案】
A
【知识点】
提取公因式因式分解，代数式整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的应用，通过提取公因式将待求代数式转化为含已知条件的形式，利用整体代入法快速求值，注重对基础运算能力和转化思想的考查。
【难度系数】
0.8
6. 用提取公因式法分解因式：
(1)$15a^{3}+10a^{2}=$
(2)$a^{3}-4a^{2}=$
(3)$3ab + 6a=$
(4)$(x + y)^{2}-3(x + y)=$
(1)$15a^{3}+10a^{2}=$
$ 5a^{2}(3a + 2) $
.(2)$a^{3}-4a^{2}=$
$ a^{2}(a - 4) $
.(3)$3ab + 6a=$
$ 3a(b + 2) $
.(4)$(x + y)^{2}-3(x + y)=$
$ (x + y)(x + y - 3) $
.答案
6. (1) $ 5a^{2}(3a + 2) $
(2) $ a^{2}(a - 4) $
(3) $ 3a(b + 2) $
(4) $ (x + y)(x + y - 3) $
(2) $ a^{2}(a - 4) $
(3) $ 3a(b + 2) $
(4) $ (x + y)(x + y - 3) $
解析
【解析】
(1) 观察多项式$15a^{3}+10a^{2}$，各项的公因式为$5a^{2}$，提取公因式可得：$15a^{3}+10a^{2}=5a^{2}(3a+2)$；
(2) 多项式$a^{3}-4a^{2}$的公因式为$a^{2}$，提取公因式可得：$a^{3}-4a^{2}=a^{2}(a-4)$；
(3) 多项式$3ab + 6a$的公因式为$3a$，提取公因式可得：$3ab + 6a=3a(b+2)$；
(4) 把$(x+y)$看作一个整体，多项式$(x + y)^{2}-3(x + y)$的公因式为$(x+y)$，提取公因式可得：$(x + y)^{2}-3(x + y)=(x+y)(x+y-3)$。
【答案】
(1) $5a^{2}(3a + 2)$
(2) $a^{2}(a - 4)$
(3) $3a(b + 2)$
(4) $(x + y)(x + y - 3)$
【知识点】
提取公因式法分解因式
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式，对于以多项式为整体的公因式需正确识别，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
(1) 观察多项式$15a^{3}+10a^{2}$，各项的公因式为$5a^{2}$，提取公因式可得：$15a^{3}+10a^{2}=5a^{2}(3a+2)$；
(2) 多项式$a^{3}-4a^{2}$的公因式为$a^{2}$，提取公因式可得：$a^{3}-4a^{2}=a^{2}(a-4)$；
(3) 多项式$3ab + 6a$的公因式为$3a$，提取公因式可得：$3ab + 6a=3a(b+2)$；
(4) 把$(x+y)$看作一个整体，多项式$(x + y)^{2}-3(x + y)$的公因式为$(x+y)$，提取公因式可得：$(x + y)^{2}-3(x + y)=(x+y)(x+y-3)$。
【答案】
(1) $5a^{2}(3a + 2)$
(2) $a^{2}(a - 4)$
(3) $3a(b + 2)$
(4) $(x + y)(x + y - 3)$
【知识点】
提取公因式法分解因式
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，解题关键是准确找出各项的公因式，对于以多项式为整体的公因式需正确识别，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
7. 填空：
(1)$x - y=$$(y - x)$.
(2)$(a - b)^{2}=\_\_\_\_\_(b - a)^{2}$.
(3)$a - b - c=a-$（）.
(4)$-x^{2}+2x - 4=-$（）.
(1)$x - y=$$(y - x)$.
(2)$(a - b)^{2}=\_\_\_\_\_(b - a)^{2}$.
(3)$a - b - c=a-$（）.
(4)$-x^{2}+2x - 4=-$（）.
答案
7. (1) $ - $ (2) $ + $ (3) $ b + c $ (4) $ x^{2} - 2x + 4 $
解析
【解析】
(1) 因为$y - x = -(x - y)$，所以$x - y = - (y - x)$，故填“$-$”；
(2) 由于$(a - b)^2 = [-(b - a)]^2 = (b - a)^2$，所以$(a - b)^2 = +(b - a)^2$，故填“$+$”；
(3) 根据添括号法则，括号前是“$-$”，括号内各项要变号，因此$a - b - c = a - (b + c)$，括号内填$b + c$；
(4) 提取“$-$”号时，括号内各项需变号，所以$-x^2 + 2x - 4 = - (x^2 - 2x + 4)$，括号内填$x^2 - 2x + 4$。
【答案】
(1) $-$ (2) $+$ (3) $b + c$ (4) $x^2 - 2x + 4$
【知识点】
添括号法则、相反数性质、平方的性质
【点评】
本题为基础题，主要考查添括号法则及相反数、平方的相关性质，需熟练掌握整式变形中的符号变化规律，准确进行式子改写。
【难度系数】
0.9
(1) 因为$y - x = -(x - y)$，所以$x - y = - (y - x)$，故填“$-$”；
(2) 由于$(a - b)^2 = [-(b - a)]^2 = (b - a)^2$，所以$(a - b)^2 = +(b - a)^2$，故填“$+$”；
(3) 根据添括号法则，括号前是“$-$”，括号内各项要变号，因此$a - b - c = a - (b + c)$，括号内填$b + c$；
(4) 提取“$-$”号时，括号内各项需变号，所以$-x^2 + 2x - 4 = - (x^2 - 2x + 4)$，括号内填$x^2 - 2x + 4$。
【答案】
(1) $-$ (2) $+$ (3) $b + c$ (4) $x^2 - 2x + 4$
【知识点】
添括号法则、相反数性质、平方的性质
【点评】
本题为基础题，主要考查添括号法则及相反数、平方的相关性质，需熟练掌握整式变形中的符号变化规律，准确进行式子改写。
【难度系数】
0.9
8. 分解因式：$6p(p + q)-4q(p + q)$.
答案
8. $ 2(p + q)(3p - 2q) $
解析
【解析】
观察原式，两项都含有公因式$2(p + q)$，提取公因式可得：
$6p(p + q)-4q(p + q)=2(p + q)(3p - 2q)$。
【答案】
$2(p + q)(3p - 2q)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式，解题关键是准确找出公因式，提取公因式时注意各项的符号运算。
【难度系数】
0.9
观察原式，两项都含有公因式$2(p + q)$，提取公因式可得：
$6p(p + q)-4q(p + q)=2(p + q)(3p - 2q)$。
【答案】
$2(p + q)(3p - 2q)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题考查提公因式法分解因式，解题关键是准确找出公因式，提取公因式时注意各项的符号运算。
【难度系数】
0.9
9. 多项式$m^{2}-n^{2}$和$am - an$的公因式是
$ m - n $
.答案
9. $ m - n $
解析
【解析】
先对两个多项式分别因式分解：
1. $m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$（平方差公式）；
2. $am - an=a(m - n)$（提取公因式法）。
观察分解结果，两个多项式共有的因式为$m - n$，即公因式是$m - n$。
【答案】
$m - n$
【知识点】
提取公因式法、平方差公式、公因式的概念
【点评】
本题主要考查因式分解的方法及公因式的确定，需先将多项式正确因式分解，再找出它们共有的因式，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
先对两个多项式分别因式分解：
1. $m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$（平方差公式）；
2. $am - an=a(m - n)$（提取公因式法）。
观察分解结果，两个多项式共有的因式为$m - n$，即公因式是$m - n$。
【答案】
$m - n$
【知识点】
提取公因式法、平方差公式、公因式的概念
【点评】
本题主要考查因式分解的方法及公因式的确定，需先将多项式正确因式分解，再找出它们共有的因式，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
10. 若$m - n=-1$，则$(m - n)^{2}-2m + 2n$的值是(
A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$-1$
A
)A.$3$
B.$2$
C.$1$
D.$-1$
答案
10. A
解析
【解析】
先对原式变形：
$\begin{aligned}(m - n)^{2}-2m + 2n&=(m - n)^{2}-2(m - n)\end{aligned}$
将$m - n=-1$代入上式：
$\begin{aligned}&(-1)^{2}-2×(-1)\\=&1 + 2\\=&3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查代数式化简求值，通过提公因式将原式转化为含$m-n$的形式，运用整体代入思想计算，方法简便，易于掌握。
【难度系数】
0.8
先对原式变形：
$\begin{aligned}(m - n)^{2}-2m + 2n&=(m - n)^{2}-2(m - n)\end{aligned}$
将$m - n=-1$代入上式：
$\begin{aligned}&(-1)^{2}-2×(-1)\\=&1 + 2\\=&3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
代数式求值，提公因式法因式分解
【点评】
本题考查代数式化简求值，通过提公因式将原式转化为含$m-n$的形式，运用整体代入思想计算，方法简便，易于掌握。
【难度系数】
0.8
