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11. 计算$2^{2024}-2^{2025}$的值是(
A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-2^{2024}$
D.$-2$
C
)A.$\frac{1}{2}$
B.$-\frac{1}{2}$
C.$-2^{2024}$
D.$-2$
答案
11. C
解析
【解析】
先将$2^{2025}$变形为$2×2^{2024}$，再提取公因式$2^{2024}$：
$2^{2024}-2^{2025}=2^{2024}-2×2^{2024}=2^{2024}×(1-2)=-2^{2024}$。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的运算、提取公因式
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，通过提取公因式简化计算，需熟练掌握幂的变形方法，理清指数间的关系。
【难度系数】
0.8
先将$2^{2025}$变形为$2×2^{2024}$，再提取公因式$2^{2024}$：
$2^{2024}-2^{2025}=2^{2024}-2×2^{2024}=2^{2024}×(1-2)=-2^{2024}$。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的运算、提取公因式
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，通过提取公因式简化计算，需熟练掌握幂的变形方法，理清指数间的关系。
【难度系数】
0.8
12. 已知$a$，$b$分别是长方形的长和宽，它的周长为$16$，面积为$10$，那么$a^{2}b + ab^{2}$的值为
$ 80 $
.答案
12. 80
解析
【解析】
根据长方形周长公式，得$2(a+b)=16$，化简得$a+b=8$；
已知长方形面积$ab=10$；
对$a^{2}b + ab^{2}$提公因式因式分解，得$a^{2}b + ab^{2}=ab(a+b)$；
将$a+b=8$，$ab=10$代入，计算得$10×8=80$。
【答案】
80
【知识点】
提公因式法因式分解，长方形周长与面积，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的应用与整体代入思想，需先结合长方形的周长、面积公式求出$a+b$与$ab$的值，再通过提公因式将所求代数式转化为含$a+b$和$ab$的形式，整体代入计算，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8
根据长方形周长公式，得$2(a+b)=16$，化简得$a+b=8$；
已知长方形面积$ab=10$；
对$a^{2}b + ab^{2}$提公因式因式分解，得$a^{2}b + ab^{2}=ab(a+b)$；
将$a+b=8$，$ab=10$代入，计算得$10×8=80$。
【答案】
80
【知识点】
提公因式法因式分解，长方形周长与面积，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解的应用与整体代入思想，需先结合长方形的周长、面积公式求出$a+b$与$ab$的值，再通过提公因式将所求代数式转化为含$a+b$和$ab$的形式，整体代入计算，注重基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.8
13. 分解因式：$2(a - b)^{2}-6a + 6b$.
答案
解:
$\begin{aligned}2(a - b)^{2}-6a + 6b&=2(a - b)^{2}-6(a - b)\\&=2(a - b)[(a - b)-3]\\&=2(a - b)(a - b - 3)\end{aligned}$
$\begin{aligned}2(a - b)^{2}-6a + 6b&=2(a - b)^{2}-6(a - b)\\&=2(a - b)[(a - b)-3]\\&=2(a - b)(a - b - 3)\end{aligned}$
解析
【解析】
1. 先将原式中的$-6a+6b$变形为$-6(a - b)$，则原式转化为：
$2(a - b)^{2}-6(a - b)$
2. 提取公因式$2(a - b)$，可得：
$2(a - b)[(a - b)-3]$
3. 整理括号内的式子，得到最终结果：
$2(a - b)(a - b - 3)$
【答案】
$2(a - b)(a - b - 3)$
【知识点】
提取公因式法，整体思想
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，解题关键是将$-6a+6b$变形为含$(a - b)$的形式，把$(a - b)$看作整体提取公因式，注意因式分解要彻底。
【难度系数】
0.7
1. 先将原式中的$-6a+6b$变形为$-6(a - b)$，则原式转化为：
$2(a - b)^{2}-6(a - b)$
2. 提取公因式$2(a - b)$，可得：
$2(a - b)[(a - b)-3]$
3. 整理括号内的式子，得到最终结果：
$2(a - b)(a - b - 3)$
【答案】
$2(a - b)(a - b - 3)$
【知识点】
提取公因式法，整体思想
【点评】
本题考查提取公因式法分解因式，解题关键是将$-6a+6b$变形为含$(a - b)$的形式，把$(a - b)$看作整体提取公因式，注意因式分解要彻底。
【难度系数】
0.7
14. 试说明：$5^{23}-5^{21}$能被$120$整除.
答案
14. $ \because 5^{23} - 5^{21} = 5^{21} × 5^{2} - 5^{21} = 5^{21}(5^{2} - 1) = 5^{21} × 24 = 5^{20} × 120 $，
$ \therefore 5^{23} - 5^{21} $ 能被 120 整除.
$ \therefore 5^{23} - 5^{21} $ 能被 120 整除.
解析
【解析】
$\because 5^{23} - 5^{21} = 5^{21} × 5^{2} - 5^{21} = 5^{21}(5^{2} - 1) = 5^{21} × 24 = 5^{20} × 120$，
$\therefore 5^{23} - 5^{21}$能被120整除。
【答案】
$5^{23}-5^{21}$能被120整除。
【知识点】
提公因式法因式分解、幂的运算
【点评】
本题考查因式分解的应用，通过提取公因式将原式变形为含120的形式，从而证明整除性，需熟练掌握提公因式法和幂的运算规则。
【难度系数】
0.8
$\because 5^{23} - 5^{21} = 5^{21} × 5^{2} - 5^{21} = 5^{21}(5^{2} - 1) = 5^{21} × 24 = 5^{20} × 120$，
$\therefore 5^{23} - 5^{21}$能被120整除。
【答案】
$5^{23}-5^{21}$能被120整除。
【知识点】
提公因式法因式分解、幂的运算
【点评】
本题考查因式分解的应用，通过提取公因式将原式变形为含120的形式，从而证明整除性，需熟练掌握提公因式法和幂的运算规则。
【难度系数】
0.8
15. 利用提公因式方法进行简便运算：
(1)$29×20.26 + 540×2.026 + 1700×0.2026$.
(2)$57×37-19×3^{4}$.
(1)$29×20.26 + 540×2.026 + 1700×0.2026$.
(2)$57×37-19×3^{4}$.
答案
15. 解：(1) 原式 $ = 29 × 20.26 + 54 × 20.26 + 17 × 20.26 $
$ = 20.26 × (29 + 54 + 17) $
$ = 20.26 × 100 $
$ = 2026 $.
(2) 原式 $ = 57 × 37 - 57 × 3^{3} $
$ = 57 × (37 - 27) $
$ = 57 × 10 $
$ = 570 $.
$ = 20.26 × (29 + 54 + 17) $
$ = 20.26 × 100 $
$ = 2026 $.
(2) 原式 $ = 57 × 37 - 57 × 3^{3} $
$ = 57 × (37 - 27) $
$ = 57 × 10 $
$ = 570 $.
解析
【解析】
(1) 先根据积的不变性，将各项变形为含有相同公因式20.26的形式：
原式 $ = 29 × 20.26 + 54 × 20.26 + 17 × 20.26 $
再提取公因式20.26，利用乘法分配律计算：
$ = 20.26 × (29 + 54 + 17) $
$ = 20.26 × 100 $
$ = 2026 $
(2) 先将$19×3^{4}$变形为$57×3^{3}$（因为$19×3=57$，$3^{4}=3×3^{3}$），构造出公因式57：
原式 $ = 57 × 37 - 57 × 3^{3} $
提取公因式57，利用乘法分配律计算：
$ = 57 × (37 - 27) $
$ = 57 × 10 $
$ = 570 $
【答案】
(1) $\boxed{2026}$；(2) $\boxed{570}$
【知识点】
提公因式法简便运算、积的不变性
【点评】
本题主要考查提公因式法在有理数简便运算中的应用，解题关键是通过观察数字特征，灵活变形构造相同公因式，利用乘法分配律简化运算，提升运算效率与准确性。
【难度系数】
0.7
(1) 先根据积的不变性，将各项变形为含有相同公因式20.26的形式：
原式 $ = 29 × 20.26 + 54 × 20.26 + 17 × 20.26 $
再提取公因式20.26，利用乘法分配律计算：
$ = 20.26 × (29 + 54 + 17) $
$ = 20.26 × 100 $
$ = 2026 $
(2) 先将$19×3^{4}$变形为$57×3^{3}$（因为$19×3=57$，$3^{4}=3×3^{3}$），构造出公因式57：
原式 $ = 57 × 37 - 57 × 3^{3} $
提取公因式57，利用乘法分配律计算：
$ = 57 × (37 - 27) $
$ = 57 × 10 $
$ = 570 $
【答案】
(1) $\boxed{2026}$；(2) $\boxed{570}$
【知识点】
提公因式法简便运算、积的不变性
【点评】
本题主要考查提公因式法在有理数简便运算中的应用，解题关键是通过观察数字特征，灵活变形构造相同公因式，利用乘法分配律简化运算，提升运算效率与准确性。
【难度系数】
0.7
16. 请你说明$9^{2025}-7×9^{2024}+5×9^{2023}$是否为$23$的倍数. 为什么？
答案
16. 解：是 23 的倍数，理由如下.
$ 9^{2025} - 7 × 9^{2024} + 5 × 9^{2023} = 9^{2023}(9^{2} - 7 × 9 + 5) $
$ = 9^{2023}(81 - 63 + 5) $
$ = 9^{2023} × 23 $，
$ \because 23 $ 能被 23 整除，
$ \therefore 9^{2023} × 23 $ 也能 23 整除，
$ \therefore 9^{2025} - 7 × 9^{2024} + 5 × 9^{2023} $ 是 23 的倍数.
$ 9^{2025} - 7 × 9^{2024} + 5 × 9^{2023} = 9^{2023}(9^{2} - 7 × 9 + 5) $
$ = 9^{2023}(81 - 63 + 5) $
$ = 9^{2023} × 23 $，
$ \because 23 $ 能被 23 整除，
$ \therefore 9^{2023} × 23 $ 也能 23 整除，
$ \therefore 9^{2025} - 7 × 9^{2024} + 5 × 9^{2023} $ 是 23 的倍数.
解析
【解析】
是23的倍数，理由如下：
$9^{2025}-7×9^{2024}+5×9^{2023}=9^{2023}(9^{2}-7×9+5)$
$=9^{2023}(81-63+5)$
$=9^{2023}×23$
$\because 23$能被23整除，
$\therefore 9^{2023}×23$也能被23整除，
$\therefore 9^{2025}-7×9^{2024}+5×9^{2023}$是23的倍数。
【答案】
是23的倍数，理由见解析。
【知识点】
提公因式法因式分解、整数整除性
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，通过提取公因式将原式化简，结合整数整除的性质判断是否为23的倍数，锻炼因式分解的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
是23的倍数，理由如下：
$9^{2025}-7×9^{2024}+5×9^{2023}=9^{2023}(9^{2}-7×9+5)$
$=9^{2023}(81-63+5)$
$=9^{2023}×23$
$\because 23$能被23整除，
$\therefore 9^{2023}×23$也能被23整除，
$\therefore 9^{2025}-7×9^{2024}+5×9^{2023}$是23的倍数。
【答案】
是23的倍数，理由见解析。
【知识点】
提公因式法因式分解、整数整除性
【点评】
本题考查提公因式法分解因式的应用，通过提取公因式将原式化简，结合整数整除的性质判断是否为23的倍数，锻炼因式分解的实际运用能力。
【难度系数】
0.7
