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6. 若 $ x^{m + n} · x^{m - n} = x^{2026} $，则 $ m $ 的值为
1013
。答案
6. 1013
解析
【分析】
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。观察题目，左边是两个同底数幂相乘，先利用法则将左边化简，得到一个以x为底数的幂，再根据“底数相同且不为0的幂相等时，指数相等”的性质，建立关于m的方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^p·a^q=a^{p+q}$（$a≠0$，$p$、$q$为整数），对左边进行化简：
$x^{m + n} · x^{m - n} = x^{(m+n)+(m-n)} = x^{2m}$
因为$x^{2m}=x^{2026}$，且底数$x≠0$时，指数相等，所以：
$2m=2026$
解得：$m=1013$
【答案】
1013
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂相等的性质
【点评】
本题是基础运算题，主要考查同底数幂乘法法则的应用以及利用幂相等的条件列方程求解，需要学生熟练掌握同底数幂的运算规则，理清指数之间的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
首先回忆同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。观察题目，左边是两个同底数幂相乘，先利用法则将左边化简，得到一个以x为底数的幂，再根据“底数相同且不为0的幂相等时，指数相等”的性质，建立关于m的方程，最后解方程即可求出m的值。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：$a^p·a^q=a^{p+q}$（$a≠0$，$p$、$q$为整数），对左边进行化简：
$x^{m + n} · x^{m - n} = x^{(m+n)+(m-n)} = x^{2m}$
因为$x^{2m}=x^{2026}$，且底数$x≠0$时，指数相等，所以：
$2m=2026$
解得：$m=1013$
【答案】
1013
【知识点】
1. 同底数幂的乘法
2. 幂相等的性质
【点评】
本题是基础运算题，主要考查同底数幂乘法法则的应用以及利用幂相等的条件列方程求解，需要学生熟练掌握同底数幂的运算规则，理清指数之间的关系即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
7. 已知 $ 2^{a} = 5 $，$ 2^{b} = 10 $，$ 2^{c} = 50 $，那么 $ a $，$ b $，$ c $ 之间满足的等量关系是
$ a + b = c $
。答案
7. $ a + b = c $
解析
【分析】
首先观察题目中三个以2为底数的幂对应的数值，发现$5×10=50$，正好对应三个幂的底数的乘积关系。我们可以借助同底数幂的乘法法则，将$2^a$与$2^b$相乘，再结合$2^c=50$的条件，利用“同底数幂相等时指数相等”的性质，推导出$a$、$b$、$c$的等量关系。具体思考步骤：先找已知数值的乘法关联，再转化为幂的乘法运算，最后通过幂的性质得到指数关系。
【解析】
已知$2^a = 5$，$2^b = 10$，
根据同底数幂的乘法法则：$2^a × 2^b = 2^{a+b}$，
将$2^a = 5$，$2^b = 10$代入左边可得：
$2^a × 2^b = 5 × 10 = 50$，
又因为$2^c = 50$，所以$2^{a+b} = 2^c$，
由于底数$2≠0$且$2≠1$，当两个同底数幂相等时，指数相等，
因此$a + b = c$。
【答案】
$a + b = c$
【知识点】
同底数幂的乘法法则，幂的相等判定
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的逆用，需要学生观察数值间的关联，将数的运算转化为幂的运算，灵活运用幂的性质解决问题，能有效提升学生的运算能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
首先观察题目中三个以2为底数的幂对应的数值，发现$5×10=50$，正好对应三个幂的底数的乘积关系。我们可以借助同底数幂的乘法法则，将$2^a$与$2^b$相乘，再结合$2^c=50$的条件，利用“同底数幂相等时指数相等”的性质，推导出$a$、$b$、$c$的等量关系。具体思考步骤：先找已知数值的乘法关联，再转化为幂的乘法运算，最后通过幂的性质得到指数关系。
【解析】
已知$2^a = 5$，$2^b = 10$，
根据同底数幂的乘法法则：$2^a × 2^b = 2^{a+b}$，
将$2^a = 5$，$2^b = 10$代入左边可得：
$2^a × 2^b = 5 × 10 = 50$，
又因为$2^c = 50$，所以$2^{a+b} = 2^c$，
由于底数$2≠0$且$2≠1$，当两个同底数幂相等时，指数相等，
因此$a + b = c$。
【答案】
$a + b = c$
【知识点】
同底数幂的乘法法则，幂的相等判定
【点评】
本题考查同底数幂乘法法则的逆用，需要学生观察数值间的关联，将数的运算转化为幂的运算，灵活运用幂的性质解决问题，能有效提升学生的运算能力与逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
8. 计算：
(1) $ b^{2} · b^{3} · b^{4} · b^{10} $；
(2) $ -(-y)^{2} · (-y)^{6} · (-y)^{5} $；
(3) $ (-p) · (-p)^{4} + p^{2} · p^{3} $。
(1) $ b^{2} · b^{3} · b^{4} · b^{10} $；
(2) $ -(-y)^{2} · (-y)^{6} · (-y)^{5} $；
(3) $ (-p) · (-p)^{4} + p^{2} · p^{3} $。
答案
8. (1)$ b^{19} $ (2)$ y^{13} $ (3)0
解析
【分析】
本题围绕同底数幂的运算展开，核心思路是运用同底数幂的乘法法则，同时注意符号处理和运算顺序：
1. 第(1)问是单纯的同底数幂相乘，所有项底数均为b，直接应用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则即可；
2. 第(2)问底数为带负号的(-y)，先将其看作整体按同底数幂乘法法则计算指数和，再根据负数奇次幂为负、偶次幂为正的规律处理符号；
3. 第(3)问是混合运算，需遵循先乘方、再乘法、最后加减的顺序，分别计算两个乘法项后合并同类项。
【解析】
(1) $ b^{2} · b^{3} · b^{4} · b^{10} $
根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加：
$=b^{2+3+4+10}$
$=b^{19}$
(2) $ -(-y)^{2} · (-y)^{6} · (-y)^{5} $
先计算同底数幂的乘法，底数为$(-y)$，指数相加：
$=-(-y)^{2+6+5}$
$=-(-y)^{13}$
因为13是奇数，$(-y)^{13}=-y^{13}$，所以：
$=-(-y^{13})$
$=y^{13}$
(3) $ (-p) · (-p)^{4} + p^{2} · p^{3} $
分别计算两项：
第一项：$(-p) · (-p)^{4}=(-p)^{1+4}=(-p)^{5}=-p^{5}$
第二项：$p^{2} · p^{3}=p^{2+3}=p^{5}$
再将两项相加：
$=-p^{5}+p^{5}$
$=0$
【答案】
(1)$ b^{19} $；(2)$ y^{13} $；(3)$ 0 $
【知识点】
同底数幂的乘法；负数幂的符号规律；整式混合运算
【点评】
本题是同底数幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的掌握，以及负数幂的符号判断、混合运算顺序的应用。解题时需仔细处理符号，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
本题围绕同底数幂的运算展开，核心思路是运用同底数幂的乘法法则，同时注意符号处理和运算顺序：
1. 第(1)问是单纯的同底数幂相乘，所有项底数均为b，直接应用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则即可；
2. 第(2)问底数为带负号的(-y)，先将其看作整体按同底数幂乘法法则计算指数和，再根据负数奇次幂为负、偶次幂为正的规律处理符号；
3. 第(3)问是混合运算，需遵循先乘方、再乘法、最后加减的顺序，分别计算两个乘法项后合并同类项。
【解析】
(1) $ b^{2} · b^{3} · b^{4} · b^{10} $
根据同底数幂乘法法则，底数不变，指数相加：
$=b^{2+3+4+10}$
$=b^{19}$
(2) $ -(-y)^{2} · (-y)^{6} · (-y)^{5} $
先计算同底数幂的乘法，底数为$(-y)$，指数相加：
$=-(-y)^{2+6+5}$
$=-(-y)^{13}$
因为13是奇数，$(-y)^{13}=-y^{13}$，所以：
$=-(-y^{13})$
$=y^{13}$
(3) $ (-p) · (-p)^{4} + p^{2} · p^{3} $
分别计算两项：
第一项：$(-p) · (-p)^{4}=(-p)^{1+4}=(-p)^{5}=-p^{5}$
第二项：$p^{2} · p^{3}=p^{2+3}=p^{5}$
再将两项相加：
$=-p^{5}+p^{5}$
$=0$
【答案】
(1)$ b^{19} $；(2)$ y^{13} $；(3)$ 0 $
【知识点】
同底数幂的乘法；负数幂的符号规律；整式混合运算
【点评】
本题是同底数幂运算的基础题型，重点考查对同底数幂乘法法则的掌握，以及负数幂的符号判断、混合运算顺序的应用。解题时需仔细处理符号，避免因符号失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
9. 已知 $ a^{x} = -2 $，$ a^{y} = 3 $。求：
(1) $ a^{x + y} $ 的值；
(2) $ a^{x + 2y} $ 的值。
(1) $ a^{x + y} $ 的值；
(2) $ a^{x + 2y} $ 的值。
答案
9. (1)$ -6 $ (2)$ -18 $
解析
【分析】
要解决这两个问题，我们需要运用幂的相关运算性质：
1. 对于(1)，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$，所以可以将$a^{x+y}$转化为$a^x · a^y$，再代入已知的$a^x=-2$、$a^y=3$计算。
2. 对于(2)，先利用同底数幂的乘法法则将$a^{x+2y}$拆分为$a^x · a^{2y}$，再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，把$a^{2y}$转化为$(a^y)^2$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
将$a^x=-2$，$a^y=3$代入上式：
$a^{x+y}=-2 × 3=-6$
(2) 根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则：
$a^{x+2y}=a^x · a^{2y}=a^x · (a^y)^2$
将$a^x=-2$，$a^y=3$代入上式：
$a^{x+2y}=-2 × 3^2=-2 × 9=-18$
【答案】
(1) $-6$；(2) $-18$
【知识点】
同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则
【点评】
本题考查幂的运算性质的实际应用，解题的核心是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的运算规则，通过法则将所求代数式转化为已知条件的形式，再代入计算即可，题目难度较低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
要解决这两个问题，我们需要运用幂的相关运算性质：
1. 对于(1)，根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^{m+n}=a^m · a^n$，所以可以将$a^{x+y}$转化为$a^x · a^y$，再代入已知的$a^x=-2$、$a^y=3$计算。
2. 对于(2)，先利用同底数幂的乘法法则将$a^{x+2y}$拆分为$a^x · a^{2y}$，再根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，把$a^{2y}$转化为$(a^y)^2$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m · a^n$，可得：
$a^{x+y}=a^x · a^y$
将$a^x=-2$，$a^y=3$代入上式：
$a^{x+y}=-2 × 3=-6$
(2) 根据同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则：
$a^{x+2y}=a^x · a^{2y}=a^x · (a^y)^2$
将$a^x=-2$，$a^y=3$代入上式：
$a^{x+2y}=-2 × 3^2=-2 × 9=-18$
【答案】
(1) $-6$；(2) $-18$
【知识点】
同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则
【点评】
本题考查幂的运算性质的实际应用，解题的核心是熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方的运算规则，通过法则将所求代数式转化为已知条件的形式，再代入计算即可，题目难度较低，属于基础巩固类题型。
【难度系数】
0.8
10. 太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘，光通过这个圆盘半径的时间约为 $ 2 × 10^{4} $ 秒，光的速度为 $ 3 × 10^{5} $ 千米/秒，求太阳系的直径。
答案
10. 解:由速度、时间与路程的关系,可得太阳系的半径为$ (2×10^{4})×(3×10^{5}) $所以太阳系的直径为$ 2×(2×10^{4})×(3×10^{5}) = 12×10^{4 + 5} = 12×10^{9} $即$ 1.2×10^{10} $(千米)答:太阳系的直径为$ 1.2×10^{10} $千米.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先，根据“路程=速度×时间”的公式，用光通过半径的时间乘以光速，算出太阳系的半径；其次，因为直径是半径的2倍，所以将算出的半径乘以2得到直径。计算过程中要注意科学计数法的运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，最后结果要写成规范的科学计数法形式（即$a×10^n$，其中$1≤a＜10$）。
【解析】
解：根据路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间，先计算太阳系的半径：
半径 = 光速 × 光通过半径的时间 = $ (2×10^{4})×(3×10^{5}) $
因为直径是半径的2倍，所以太阳系的直径为：
$ 2×(2×10^{4})×(3×10^{5}) $
根据乘法交换律、结合律以及科学计数法运算规则计算：
$ = (2×2×3)×(10^{4}×10^{5}) $
$ = 12×10^{4+5} $
$ = 12×10^{9} $
将结果转化为规范的科学计数法：
$ = 1.2×10^{10} $（千米）
答：太阳系的直径为$ 1.2×10^{10} $千米。
【答案】
$ 1.2×10^{10} $千米
【知识点】
科学计数法的运算、路程=速度×时间
【点评】
本题主要考查路程公式的实际应用以及科学计数法的乘法运算，解题关键是明确直径与半径的关系，同时注意科学计数法结果的规范书写，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以分两步思考：首先，根据“路程=速度×时间”的公式，用光通过半径的时间乘以光速，算出太阳系的半径；其次，因为直径是半径的2倍，所以将算出的半径乘以2得到直径。计算过程中要注意科学计数法的运算规则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，最后结果要写成规范的科学计数法形式（即$a×10^n$，其中$1≤a＜10$）。
【解析】
解：根据路程、速度、时间的关系：路程=速度×时间，先计算太阳系的半径：
半径 = 光速 × 光通过半径的时间 = $ (2×10^{4})×(3×10^{5}) $
因为直径是半径的2倍，所以太阳系的直径为：
$ 2×(2×10^{4})×(3×10^{5}) $
根据乘法交换律、结合律以及科学计数法运算规则计算：
$ = (2×2×3)×(10^{4}×10^{5}) $
$ = 12×10^{4+5} $
$ = 12×10^{9} $
将结果转化为规范的科学计数法：
$ = 1.2×10^{10} $（千米）
答：太阳系的直径为$ 1.2×10^{10} $千米。
【答案】
$ 1.2×10^{10} $千米
【知识点】
科学计数法的运算、路程=速度×时间
【点评】
本题主要考查路程公式的实际应用以及科学计数法的乘法运算，解题关键是明确直径与半径的关系，同时注意科学计数法结果的规范书写，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.8
1. 规定 $ a * b = 2^{a} × 2^{b} $。
(1) 求 $ 2 * 3 $ 的值；
(2) 若 $ 2 * (x + 1) = 16 $，求 $ x $ 的值。
(1) 求 $ 2 * 3 $ 的值；
(2) 若 $ 2 * (x + 1) = 16 $，求 $ x $ 的值。
答案
1. (1)32 (2)1
解析
【分析】
对于这道自定义运算的题目，我们需要先明确题目规定的运算规则：$a * b = 2^{a} × 2^{b}$，再结合幂的运算性质来解题。
(1) 第一小问直接将$a=2$，$b=3$代入规定的运算公式，利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则计算即可得到结果。
(2) 第二小问先代入运算公式，将左边转化为以2为底的幂的形式，再把右边的16也转化为以2为底的幂（$16=2^4$），根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质，列出一元一次方程求解$x$的值。
【解析】
(1) 根据题目规定的运算规则$a * b = 2^{a} × 2^{b}$，将$a=2$，$b=3$代入：
$\begin{aligned}2 * 3&=2^2×2^3\\&=2^{2+3}\\&=2^5\\&=32\end{aligned}$
(2) 先根据运算规则计算左边：
$\begin{aligned}2 * (x + 1)&=2^2×2^{x+1}\\&=2^{2+(x+1)}\\&=2^{x+3}\end{aligned}$
因为$16=2^4$，所以原等式可转化为：
$2^{x+3}=2^4$
根据同底数幂的性质，底数相同则指数相等，可得：
$x+3=4$
解得：$x=1$
【答案】
(1) 32；(2) 1
【知识点】
自定义新运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题重点考查对自定义新运算的理解能力以及同底数幂乘法法则的应用，同时涉及简单的一元一次方程求解。解题关键是准确把握新运算的规则，将陌生的新运算转化为熟悉的幂的运算，再利用幂的性质解决问题，注重基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.8
对于这道自定义运算的题目，我们需要先明确题目规定的运算规则：$a * b = 2^{a} × 2^{b}$，再结合幂的运算性质来解题。
(1) 第一小问直接将$a=2$，$b=3$代入规定的运算公式，利用同底数幂相乘，底数不变、指数相加的法则计算即可得到结果。
(2) 第二小问先代入运算公式，将左边转化为以2为底的幂的形式，再把右边的16也转化为以2为底的幂（$16=2^4$），根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质，列出一元一次方程求解$x$的值。
【解析】
(1) 根据题目规定的运算规则$a * b = 2^{a} × 2^{b}$，将$a=2$，$b=3$代入：
$\begin{aligned}2 * 3&=2^2×2^3\\&=2^{2+3}\\&=2^5\\&=32\end{aligned}$
(2) 先根据运算规则计算左边：
$\begin{aligned}2 * (x + 1)&=2^2×2^{x+1}\\&=2^{2+(x+1)}\\&=2^{x+3}\end{aligned}$
因为$16=2^4$，所以原等式可转化为：
$2^{x+3}=2^4$
根据同底数幂的性质，底数相同则指数相等，可得：
$x+3=4$
解得：$x=1$
【答案】
(1) 32；(2) 1
【知识点】
自定义新运算、同底数幂的乘法
【点评】
本题重点考查对自定义新运算的理解能力以及同底数幂乘法法则的应用，同时涉及简单的一元一次方程求解。解题关键是准确把握新运算的规则，将陌生的新运算转化为熟悉的幂的运算，再利用幂的性质解决问题，注重基础概念的灵活运用。
【难度系数】
0.8
2. 设 $ 3^{m} + n $ 能被 10 整除，试说明 $ 3^{m + 4} + n $ 也能被 10 整除。
答案
2. 解:因为$ 3^{m + 4} + n = 3^{4}×3^{m} + n $
$ = 81×3^{m} + n $
$ = 80×3^{m} + 3^{m} + n $
$ = 80×3^{m} + (3^{m} + n) $
因为$ 3^{m} + n $能被 10 整除,
所以$ 80×3^{m} $与$ 3^{m} + n $均能被 10 整除
即$ 3^{m + 4} + n $能被 10 整除.
$ = 81×3^{m} + n $
$ = 80×3^{m} + 3^{m} + n $
$ = 80×3^{m} + (3^{m} + n) $
因为$ 3^{m} + n $能被 10 整除,
所以$ 80×3^{m} $与$ 3^{m} + n $均能被 10 整除
即$ 3^{m + 4} + n $能被 10 整除.
解析
【分析】
要说明$3^{m + 4} + n$能被10整除，已知$3^m + n$能被10整除，我们可以通过幂的运算性质将$3^{m+4}$变形，把式子转化为含有$3^m + n$的形式，再结合整除的性质推导。首先利用同底数幂的乘法法则，把$3^{m+4}$拆成$3^4×3^m$，计算出$3^4=81$后，将81拆成80+1，这样式子就转化为$80×3^m + (3^m + n)$；接着判断两部分是否能被10整除：80是10的倍数，所以$80×3^m$能被10整除，已知$3^m + n$能被10整除，根据“两个能被10整除的数的和也能被10整除”，即可得出结论。
【解析】
解：因为$3^{m + 4} + n = 3^{4}×3^{m} + n$
$= 81×3^{m} + n$
$= 80×3^{m} + 3^{m} + n$
$= 80×3^{m} + (3^{m} + n)$
因为$3^{m} + n$能被10整除，
又因为$80×3^m$是10的倍数（80能被10整除），所以$80×3^{m}$能被10整除，
因此$80×3^{m}$与$3^{m} + n$均能被10整除，
即$3^{m + 4} + n$能被10整除。
【答案】
$3^{m + 4} + n$能被10整除。
【知识点】
同底数幂的乘法，整除的性质
【点评】
本题主要考查同底数幂的乘法法则和整除性质的综合应用，解题关键是通过幂的运算将目标式子变形，构造出已知条件中的$3^m + n$，从而利用整除的性质完成证明，需要学生具备一定的式子变形能力和对整除概念的理解。
【难度系数】
0.6
要说明$3^{m + 4} + n$能被10整除，已知$3^m + n$能被10整除，我们可以通过幂的运算性质将$3^{m+4}$变形，把式子转化为含有$3^m + n$的形式，再结合整除的性质推导。首先利用同底数幂的乘法法则，把$3^{m+4}$拆成$3^4×3^m$，计算出$3^4=81$后，将81拆成80+1，这样式子就转化为$80×3^m + (3^m + n)$；接着判断两部分是否能被10整除：80是10的倍数，所以$80×3^m$能被10整除，已知$3^m + n$能被10整除，根据“两个能被10整除的数的和也能被10整除”，即可得出结论。
【解析】
解：因为$3^{m + 4} + n = 3^{4}×3^{m} + n$
$= 81×3^{m} + n$
$= 80×3^{m} + 3^{m} + n$
$= 80×3^{m} + (3^{m} + n)$
因为$3^{m} + n$能被10整除，
又因为$80×3^m$是10的倍数（80能被10整除），所以$80×3^{m}$能被10整除，
因此$80×3^{m}$与$3^{m} + n$均能被10整除，
即$3^{m + 4} + n$能被10整除。
【答案】
$3^{m + 4} + n$能被10整除。
【知识点】
同底数幂的乘法，整除的性质
【点评】
本题主要考查同底数幂的乘法法则和整除性质的综合应用，解题关键是通过幂的运算将目标式子变形，构造出已知条件中的$3^m + n$，从而利用整除的性质完成证明，需要学生具备一定的式子变形能力和对整除概念的理解。
【难度系数】
0.6
