$8. x^2 - 8x +$= ()$)^2$。

16；$x-4$

根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，已知二次项为$x^2$，则$a=x$；一次项为$-8x=-2ab$，代入$a=x$解得$b=4$。因此常数项为$b^2=4^2=16$，右边的完全平方式为$(x-4)^2$。

9. 若 $x^2 + ax + b = (x + 5)(x - 2)$，则 $a =$，$b =$。

$a=3$，$b=-10$

先展开等式右边的多项式：$(x+5)(x-2)=x^2 - 2x + 5x - 10 = x^2 + 3x - 10$；由于$x^2 + ax + b = x^2 + 3x - 10$，根据多项式相等时对应项系数相等，可得$a=3$，$b=-10$。

10. 多项式 $x^2 - 4$，$x^2 - x - 2$ 的公因式是。

$x-2$

1. 对多项式$x^2 - 4$因式分解：利用平方差公式得$x^2 - 4=(x+2)(x-2)$；
2. 对多项式$x^2 - x - 2$因式分解：利用十字相乘法得$x^2 - x - 2=(x-2)(x+1)$；
3. 对比两个分解结果，可得公因式为$x-2$。

11. 分解因式：
(1) $5x^3y - 20xy^3$。
(2) $(x^2 - 4x)^2 + 8(x^2 - 4x) + 16$。

解：
(1) $5x^3y - 20xy^3$
$=5xy(x^2 - 4y^2)$
$=5xy(x - 2y)(x + 2y)$
(2) $(x^2 - 4x)^2 + 8(x^2 - 4x) + 16$
$=(x^2 - 4x + 4)^2$
$=[(x - 2)^2]^2$
$=(x - 2)^4$

12. 已知 $a$，$b$，$c$ 为 $△ ABC$ 的三条边的长。试判断代数式 $a^2 - 2ac + c^2 - b^2$ 的值的符号，并说明理由。

解：
$a^2 - 2ac + c^2 - b^2$
$=(a - c)^2 - b^2$
$=(a - c + b)(a - c - b)$
$=(a + b - c)(a - (b + c))$
因为$a$，$b$，$c$为$△ ABC$的三条边的长，根据三角形三边关系：
$a + b ＞ c$，故$a + b - c ＞ 0$；
$b + c ＞ a$，故$a - (b + c) ＜ 0$。
则$(a + b - c)(a - (b + c)) ＜ 0$，即代数式$a^2 - 2ac + c^2 - b^2$的值的符号为负号。

13. 【探究】如图 1，边长为 $a$ 的大正方形中有一个边长为 $b$ 的小正方形，把图 1 中的阴影部分拼成一个长方形(如图 2 所示)，通过观察比较图 2 与图 1 中的阴影部分面积，可以得到公式。(用含 $a$，$b$ 的等式表示)
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
(1) 已知 $4m^2 = 12 + n^2$，$2m + n = 4$，则 $2m - n$ 的值为。
(2) 计算：$2019^2 - 2020×2018$。
【拓展】
(3) 计算：$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + ··· + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$。

解：
【探究】
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
【应用】
(1)
由$4m^2 = 12 + n^2$，得$4m^2 - n^2 = 12$，
即$(2m)^2 - n^2 = 12$，
根据平方差公式，$(2m + n)(2m - n) = 12$，
已知$2m + n = 4$，
则$2m - n = 12÷4 = 3$。
(2)
$2019^2 - 2020×2018$
$=2019^2 - (2019 + 1)(2019 - 1)$
$=2019^2 - (2019^2 - 1^2)$
$=2019^2 - 2019^2 + 1$
$=1$
【拓展】
(3)
$100^2 - 99^2 + 98^2 - 97^2 + ··· + 4^2 - 3^2 + 2^2 - 1^2$
$=(100^2 - 99^2)+(98^2 - 97^2)+···+(2^2 - 1^2)$
$=(100 + 99)(100 - 99)+(98 + 97)(98 - 97)+···+(2 + 1)(2 - 1)$
$=(100 + 99)+(98 + 97)+···+(2 + 1)$
$=(100 + 1)+(99 + 2)+···+(51 + 50)$
$=101×50$
$=5050$