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变式训练 如图，在□ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF. 求证：四边形AECF是菱形.
答案
【解析】：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴AF//EC。
∵E为BC中点，
∴EC=1/2BC。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，
∴AB//EF，
∴G为AC中点（过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边），即AG=CG。
在△AGF和△CGE中，∠FAG=∠ECG（AD//BC，内错角相等），AG=CG，∠AGF=∠CGE=90°，
∴△AGF≌△CGE（ASA），
∴AF=EC。
∵AF//EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵AB⊥AC，△ABC为直角三角形，E为BC中点，
∴AE=1/2BC=EC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵平行四边形AECF中AE=EC，
∴四边形AECF是菱形。
【答案】：四边形AECF是菱形。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
∴AF//EC。
∵E为BC中点，
∴EC=1/2BC。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，
∴AB//EF，
∴G为AC中点（过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边），即AG=CG。
在△AGF和△CGE中，∠FAG=∠ECG（AD//BC，内错角相等），AG=CG，∠AGF=∠CGE=90°，
∴△AGF≌△CGE（ASA），
∴AF=EC。
∵AF//EC且AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形。
∵AB⊥AC，△ABC为直角三角形，E为BC中点，
∴AE=1/2BC=EC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵平行四边形AECF中AE=EC，
∴四边形AECF是菱形。
【答案】：四边形AECF是菱形。
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∴AF//EC。
∵E为BC中点，∴EC=1/2BC。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，∴AB//EF，∴G为AC中点（过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边），即AG=CG。
在△AGF和△CGE中，∠FAG=∠ECG（AD//BC，内错角相等），AG=CG，∠AGF=∠CGE=90°，∴△AGF≌△CGE（ASA），∴AF=EC。
∵AF//EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形。
∵AB⊥AC，△ABC为直角三角形，E为BC中点，∴AE=1/2BC=EC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵平行四边形AECF中AE=EC，∴四边形AECF是菱形。
∵E为BC中点，∴EC=1/2BC。
∵AB⊥AC，EF⊥AC，∴AB//EF，∴G为AC中点（过三角形一边中点平行于另一边的直线平分第三边），即AG=CG。
在△AGF和△CGE中，∠FAG=∠ECG（AD//BC，内错角相等），AG=CG，∠AGF=∠CGE=90°，∴△AGF≌△CGE（ASA），∴AF=EC。
∵AF//EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形。
∵AB⊥AC，△ABC为直角三角形，E为BC中点，∴AE=1/2BC=EC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∵平行四边形AECF中AE=EC，∴四边形AECF是菱形。
例2 如图，在四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC与BD相交于点O. 点B与点D关于AC所在直线对称.
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 过点D作BC的垂线交BC延长线于点E. 若CE=3，AD=5，求线段OC的长.
(1) 求证：四边形ABCD是菱形；
(2) 过点D作BC的垂线交BC延长线于点E. 若CE=3，AD=5，求线段OC的长.
答案
(1) 证明：
∵点B与点D关于AC对称，∴AC垂直平分BD，即BO=DO，AC⊥BD。
∵AB//CD，∴∠ABO=∠CDO。
在△ABO和△CDO中，
∠ABO=∠CDO，BO=DO，∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB=CD。
∵AB//CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=5，DC=AD=5。
∵DE⊥BE，∠E=90°，CE=3，
在Rt△DEC中，DE²=DC²-CE²=5²-3²=16，∴DE=4。
BE=BC+CE=5+3=8，
在Rt△DEB中，BD²=DE²+BE²=4²+8²=80，∴BD=4√5，∴BO=BD/2=2√5。
设OC=x，在Rt△BOC中，OC²+BO²=BC²，即x²+(2√5)²=5²，
x²+20=25，x²=5，∴x=√5（负值舍去）。
∴OC=√5。
∵点B与点D关于AC对称，∴AC垂直平分BD，即BO=DO，AC⊥BD。
∵AB//CD，∴∠ABO=∠CDO。
在△ABO和△CDO中，
∠ABO=∠CDO，BO=DO，∠AOB=∠COD，
∴△ABO≌△CDO（ASA），∴AB=CD。
∵AB//CD且AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。
又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC=5，DC=AD=5。
∵DE⊥BE，∠E=90°，CE=3，
在Rt△DEC中，DE²=DC²-CE²=5²-3²=16，∴DE=4。
BE=BC+CE=5+3=8，
在Rt△DEB中，BD²=DE²+BE²=4²+8²=80，∴BD=4√5，∴BO=BD/2=2√5。
设OC=x，在Rt△BOC中，OC²+BO²=BC²，即x²+(2√5)²=5²，
x²+20=25，x²=5，∴x=√5（负值舍去）。
∴OC=√5。
变式训练 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，E是BC边的中点，且AC平分∠DAE.
(1) 求证：四边形ADCE是菱形；
(2) 已知AB=3，AE=2，求线段AC的长.
(1) 求证：四边形ADCE是菱形；
(2) 已知AB=3，AE=2，求线段AC的长.
答案
【解析】：(1)
∵E是BC中点，
∴BC=2EC，又BC=2AD，
∴AD=EC.
∵AD//BC，
∴AD//EC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC.
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=EC.
∵四边形ADCE是平行四边形且AE=EC，
∴四边形ADCE是菱形.
(2)过A作AF⊥BC于F，设EF=x.
∵四边形ADCE是菱形，
∴AE=EC=2，
∵E是BC中点，
∴BE=EC=2，
∴AE=BE=2.在Rt△AFE中，AF²=AE²-EF²=4-x².在Rt△AFB中，BF=BE+EF=2+x，AF²+BF²=AB²，即4-x²+(2+x)²=9，解得x=1/4.
∴EF=1/4，FC=EC-EF=2-1/4=7/4，AF²=4-(1/4)²=63/16.在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²=63/16+(7/4)²=7，
∴AC=√7.
【答案】：(1)见解析；(2)√7
∵E是BC中点，
∴BC=2EC，又BC=2AD，
∴AD=EC.
∵AD//BC，
∴AD//EC，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠EAC.
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠ACE，
∴∠EAC=∠ACE，
∴AE=EC.
∵四边形ADCE是平行四边形且AE=EC，
∴四边形ADCE是菱形.
(2)过A作AF⊥BC于F，设EF=x.
∵四边形ADCE是菱形，
∴AE=EC=2，
∵E是BC中点，
∴BE=EC=2，
∴AE=BE=2.在Rt△AFE中，AF²=AE²-EF²=4-x².在Rt△AFB中，BF=BE+EF=2+x，AF²+BF²=AB²，即4-x²+(2+x)²=9，解得x=1/4.
∴EF=1/4，FC=EC-EF=2-1/4=7/4，AF²=4-(1/4)²=63/16.在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²=63/16+(7/4)²=7，
∴AC=√7.
【答案】：(1)见解析；(2)√7
解析
(1)∵E是BC中点，∴BC=2EC，又BC=2AD，∴AD=EC.∵AD//BC，∴AD//EC，∴四边形ADCE是平行四边形.∵AC平分∠DAE，∴∠DAC=∠EAC.∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACE，∴∠EAC=∠ACE，∴AE=EC.∵四边形ADCE是平行四边形且AE=EC，∴四边形ADCE是菱形.
(2)过A作AF⊥BC于F，设EF=x.∵四边形ADCE是菱形，∴AE=EC=2，∵E是BC中点，∴BE=EC=2，∴AE=BE=2.在Rt△AFE中，AF²=AE²-EF²=4-x².在Rt△AFB中，BF=BE+EF=2+x，AF²+BF²=AB²，即4-x²+(2+x)²=9，解得x=1/4.∴EF=1/4，FC=EC-EF=2-1/4=7/4，AF²=4-(1/4)²=63/16.在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²=63/16+(7/4)²=7，∴AC=√7.
(2)过A作AF⊥BC于F，设EF=x.∵四边形ADCE是菱形，∴AE=EC=2，∵E是BC中点，∴BE=EC=2，∴AE=BE=2.在Rt△AFE中，AF²=AE²-EF²=4-x².在Rt△AFB中，BF=BE+EF=2+x，AF²+BF²=AB²，即4-x²+(2+x)²=9，解得x=1/4.∴EF=1/4，FC=EC-EF=2-1/4=7/4，AF²=4-(1/4)²=63/16.在Rt△AFC中，AC²=AF²+FC²=63/16+(7/4)²=7，∴AC=√7.
1. 如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形. 则四边形ABCD需满足的条件是()
A.AB=AD
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.AB=CD
A.AB=AD
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.AB=CD
答案
D
解析
∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，∴EF是△ABD的中位线，FG是△BCD的中位线，GH是△ABC的中位线，HE是△ACD的中位线。∴EF//AB，EF=1/2AB；FG//CD，FG=1/2CD；GH//AB，GH=1/2AB；HE//CD，HE=1/2CD。∴EF//GH，FG//HE，∴四边形EFGH是平行四边形。要使平行四边形EFGH是菱形，需邻边相等，即EF=FG。∵EF=1/2AB，FG=1/2CD，∴1/2AB=1/2CD，即AB=CD。
2. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD. 若AD=6 cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于.
答案
18√3
解析
∵两张长方形纸条交叉叠放，∴AB//CD，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形。∵纸条等宽，设宽度为h，则平行四边形ABCD的面积S=AB·h=BC·h，∴AB=BC，故四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=6cm。过A作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，∠ABC=60°，AB=6cm，∴∠BAE=30°，BE=AB/2=3cm，AE=√(AB²-BE²)=√(36-9)=3√3 cm。∴菱形ABCD面积=BC·AE=6×3√3=18√3 cm²。
3. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于点E，F，G分别是AD，BC的中点，连接CF，EF，EG，FG. 有下列四种说法：①CE⊥FG；②四边形ABGF是菱形；③BC=2EG；④∠DFC=∠EFG. 其中正确的有(填序号).
答案
①②③④
解析
①∵F，G分别是AD，BC中点，四边形ABCD是平行四边形，∴FG//AB，又CE⊥AB，∴CE⊥FG，①正确；
②∵AD=2AB，F，G为AD，BC中点，∴AF=BG=AB，且AF//BG，∴四边形ABGF是平行四边形，又AB=BG，∴为菱形，②正确；
③设AB=a，则BC=2a，CE⊥AB，G为BC中点，在Rt△CEB中，EG=1/2BC=a，∴BC=2EG，③正确；
④∵FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，又CD//FG，∴∠DCF=∠CFG，易证∠EFG=∠CFG，∴∠DFC=∠EFG，④正确。
②∵AD=2AB，F，G为AD，BC中点，∴AF=BG=AB，且AF//BG，∴四边形ABGF是平行四边形，又AB=BG，∴为菱形，②正确；
③设AB=a，则BC=2a，CE⊥AB，G为BC中点，在Rt△CEB中，EG=1/2BC=a，∴BC=2EG，③正确；
④∵FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，又CD//FG，∴∠DCF=∠CFG，易证∠EFG=∠CFG，∴∠DFC=∠EFG，④正确。
4. 如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，连接BE，CE.
(1) 尺规作图：过点E作直线BC的垂线EH交BC于点H，在射线EH上截取线段HF(点F在BC的下方)，使得HF=HE，连接BF和CF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2) 完成下列证明过程：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，①.
∵E是AD边的中点，
∴②.
在△ABE和△DCE中，
∵$\begin{cases}AB=DC, \\ ∠ A=∠ D, \\ AE=DE,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴③.
∵BC⊥EF，HF=HE，
∴BE=BF，CE=CF，
∴BE=BF=CE=CF，
∴四边形BECF是④.
(1) 尺规作图：过点E作直线BC的垂线EH交BC于点H，在射线EH上截取线段HF(点F在BC的下方)，使得HF=HE，连接BF和CF(保留作图痕迹，不写作法)；
(2) 完成下列证明过程：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，①.
∵E是AD边的中点，
∴②.
在△ABE和△DCE中，
∵$\begin{cases}AB=DC, \\ ∠ A=∠ D, \\ AE=DE,\end{cases}$
∴△ABE≌△DCE(SAS)，
∴③.
∵BC⊥EF，HF=HE，
∴BE=BF，CE=CF，
∴BE=BF=CE=CF，
∴四边形BECF是④.
答案
(1) （作图痕迹略，按要求完成尺规作图即可）
(2) ① ∠A = ∠D = 90°
② AE = DE
③ BE = CE
④ 菱形
(2) ① ∠A = ∠D = 90°
② AE = DE
③ BE = CE
④ 菱形
