5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB，AD为腰作等腰三角形ABF和等腰三角形ADE，且顶角∠BAF=∠DAE，连接BD，EF相交于点G，BD与AF相交于点H.
(1) 求证：BD=EF；
(2) 若∠GHF=∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；
(3) 在(2)的条件下，当∠BAF=∠DAE=90°时，连接BE，若BF=4，求△BEF的面积.

(1) 证明：
∵△ABF和△ADE是等腰三角形，且∠BAF=∠DAE，
∴AB=AF，AD=AE，∠BAF=∠DAE。
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，即∠BAD=∠FAE。
在△ABD和△AFE中，
$\begin{cases} AB=AF \\ ∠BAD=∠FAE \\ AD=AE \end{cases}$，
∴△ABD≌△AFE(SAS)，
∴BD=EF。
(2) 证明：
∵∠GHF=∠BFG，∠GHF=∠AHB，
∴∠AHB=∠BFG。
∵△ABD≌△AFE，
∴∠AFE=∠ABD。
∵∠AHB=∠BFG，∠AHB=∠ABD+∠BAF，∠BFG=∠AFE+∠EFG，
∴∠ABD+∠BAF=∠AFE+∠EFG。
又∠AFE=∠ABD，
∴∠BAF=∠EFG。
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC。
∵∠GHF=∠BFG，∠HGF=∠BGF，
∴△GHF∽△GBF，
∴∠HFG=∠GBF。
∵∠HFG=∠AFE=∠ABD，∠GBF=∠DBC，
∴∠ABD=∠DBC。
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形。
(3)
∵∠BAF=90°，AB=AF，BF=4，
∴△ABF是等腰直角三角形，AB=AF=$\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=2$\sqrt{2}$。
∵∠DAE=90°，AD=AE，
∴AE=AD=2$\sqrt{2}$。
建立坐标系：A(0,0)，B(2$\sqrt{2}$,0)，F(0,2$\sqrt{2}$)，D(2,2)，E(2,-2)。
△BEF面积：$\frac{1}{2}|2\sqrt{2}(-2-2\sqrt{2})+2(2\sqrt{2}-0)+0(0+2)|=\frac{1}{2}|-8|=4$。
答案：(1) 见解析；(2) 见解析；(3) 4。

(1) 证明：∵△ABF和△ADE是等腰三角形，且∠BAF=∠DAE，
∴AB=AF，AD=AE，∠BAF=∠DAE。
∴∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD，即∠BAD=∠FAE。
在△ABD和△AFE中，
$\begin{cases} AB=AF \\ ∠BAD=∠FAE \\ AD=AE \end{cases}$，
∴△ABD≌△AFE(SAS)，∴BD=EF。
(2) 证明：∵∠GHF=∠BFG，∠GHF=∠AHB，∴∠AHB=∠BFG。
∵△ABD≌△AFE，∴∠AFE=∠ABD。
∵∠AHB=∠BFG，∠AHB=∠ABD+∠BAF，∠BFG=∠AFE+∠EFG，
∴∠ABD+∠BAF=∠AFE+∠EFG。
又∠AFE=∠ABD，∴∠BAF=∠EFG。
∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC。
∵∠GHF=∠BFG，∠HGF=∠BGF，∴△GHF∽△GBF，∴∠HFG=∠GBF。
∵∠HFG=∠AFE=∠ABD，∠GBF=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC。
∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形。
(3) ∵∠BAF=90°，AB=AF，BF=4，
∴△ABF是等腰直角三角形，AB=AF=$\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$。
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB=2$\sqrt{2}$。
∵∠DAE=90°，AD=AE，∴AE=AD=2$\sqrt{2}$。
建立坐标系：A(0,0)，B(2$\sqrt{2}$,0)，F(0,2$\sqrt{2}$)，D(2,2)，E(2,-2)。
△BEF面积：$\frac{1}{2}|2\sqrt{2}(-2-2\sqrt{2})+2(2\sqrt{2}-0)+0(0+2)|=\frac{1}{2}|-8|=4$。

四条边都，四个角都是的四边形叫作正方形。
正方形具有、、的所有性质。正方形的对角线，且每条对角线一组对角。
思考 如何判定一个四边形是正方形？
填空 有一组相等的矩形是正方形，有一个角是的菱形是正方形，对角线的平行四边形是正方形。

相等；直角；矩形；菱形；平行四边形；相等且互相垂直平分；平分；邻边；直角；互相垂直且相等

根据正方形的定义和性质，四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。正方形兼具矩形、菱形、平行四边形的所有性质。正方形的对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。判定方面，有一组邻边相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。

例1 如图，四边形 $ABCD$ 是正方形，$M$，$N$ 分别是 $CD$，$AD$ 上的点，且 $BN⊥ AM$，垂足为 $H$。
求证：$AN = DM$。

证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=∠ADC=90°。
∵BN⊥AM，
∴∠AHB=90°，
∴∠BAN+∠ABN=90°。
又
∵∠BAN+∠DAM=90°，
∴∠ABN=∠DAM。
在△ABN和△DAM中，
∠ABN=∠DAM，
AB=DA，
∠BAN=∠ADM=90°，
∴△ABN≌△DAM（ASA），
∴AN=DM。