3. 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC=8 cm,DB=4 cm,DH⊥AB于点H.则DH=.

8√5/5

∵四边形ABCD是菱形，AC=8cm，DB=4cm，
∴AC⊥BD，OA=1/2AC=4cm，OB=1/2BD=2cm，
在Rt△AOB中，AB=√(OA²+OB²)=√(4²+2²)=2√5cm，
∵S菱形ABCD=1/2AC·BD=AB·DH，
∴1/2×8×4=2√5·DH，
解得DH=8√5/5cm。

4. 如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,E是边CD的中点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,若AC=12,BD=16,则FG的长为.

5

∵四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，∴AC⊥BD，OA=OC=6，OB=OD=8。
∵E是CD中点，EF⊥BD，EG⊥AC，AC⊥BD，∴四边形OGEF是矩形，∴FG=OE。
在Rt△COD中，OC=6，OD=8，∴CD=√(OC²+OD²)=√(6²+8²)=10。
∵E是CD中点，∴OE是Rt△COD斜边CD上的中线，∴OE=1/2CD=5，∴FG=5。

5. 如图,菱形ABCD的边长为2,BD=2,E,F分别是边AD,CD上的动点,且满足AE+CF=2.
(1)求证:△BDE≌△BCF;
(2)判断△BEF的形状,并说明理由.

(1)证明：∵菱形ABCD，∴AD=CD=BC=2，∠ADB=∠CDB。
∵BD=2，∴AD=AB=BD=2，CD=CB=BD=2，
∴△ABD和△CBD均为等边三角形，∴∠ADB=∠C=60°，BD=BC=2。
∵AE+CF=2，且AE+ED=AD=2，∴ED=CF。
在△BDE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l} ED=CF\\ ∠EDB=∠C=60°\\ BD=BC\end{array} $，
∴△BDE≌△BCF(SAS)。
(2)△BEF是等边三角形。理由如下：
由(1)知△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∠EBD=∠FBC。
∵△CBD为等边三角形，∴∠DBC=60°，即∠DBF+∠FBC=60°。
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF=60°。
∵BE=BF，∠EBF=60°，∴△BEF是等边三角形。

6. 已知菱形ABCD.
(1)如图1,当∠DAB=60°时,过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,F是线段CE的中点,连接BF,若CD=4,求线段BE,BF的长度;
(2)如图2,当∠DAB=60°时,过点B作BE⊥AD于点E,连接CE,过点D作DM⊥DC,连接MC,且∠MCE=30°,连接ME,试探索线段BE,DM,EM之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,当∠DAB=30°时,连接AC,Q是对角线AC上的一个动点,若AB=3√{6},求QB+QC+QD的最小值.

(1)
∵菱形ABCD，∠DAB=60°，CD=4，
∴AB=AD=CD=4，△ABD为等边三角形。
∵BE⊥AD，
∴AE=ED=2，在Rt△ABE中，BE=√(AB²-AE²)=√(16-4)=2√3。
建立坐标系：A(0,0)，D(4,0)，B(2,2√3)，E(2,0)，C(6,2√3)。
CE中点F(4,√3)，BF=√[(4-2)²+(√3-2√3)²]=√(4+3)=√7。
∴BE=2√3，BF=√7。
(2) BE=DM+EM。
证明：设菱形边长为2，建立坐标系，A(0,0)，D(2,0)，B(1,√3)，C(3,√3)，E(1,0)。
DM⊥DC，设M(2+√3t,-t)，DM=2t。由∠MCE=30°，向量夹角公式得t=√3/9，DM=2√3/9。
EM=√[(7/3-1)²+(-√3/9-0)²]=7√3/9，BE=√3=9√3/9。
∵9√3/9=2√3/9+7√3/9，
∴BE=DM+EM。
(3)
∵菱形ABCD，∠DAB=30°，AB=3√6，B、D关于AC对称，QB=QD。
QB+QC+QD=2QB+QC。设AC=9+3√3，B((9+3√3)/2,(9-3√3)/2)。
当Q满足2√(u²+b²)-u最小（u=x-a），最小值为a+b√3=6√3。
∴QB+QC+QD的最小值为6√3。
答案：(1) BE=2√3，BF=√7；(2) BE=DM+EM；(3) 6√3。

(1) ∵菱形ABCD，∠DAB=60°，CD=4，∴AB=AD=CD=4，△ABD为等边三角形。
∵BE⊥AD，∴AE=ED=2，在Rt△ABE中，BE=√(AB²-AE²)=√(16-4)=2√3。
建立坐标系：A(0,0)，D(4,0)，B(2,2√3)，E(2,0)，C(6,2√3)。
CE中点F(4,√3)，BF=√[(4-2)²+(√3-2√3)²]=√(4+3)=√7。
∴BE=2√3，BF=√7。
(2) BE=DM+EM。
证明：设菱形边长为2，建立坐标系，A(0,0)，D(2,0)，B(1,√3)，C(3,√3)，E(1,0)。
DM⊥DC，设M(2+√3t,-t)，DM=2t。由∠MCE=30°，向量夹角公式得t=√3/9，DM=2√3/9。
EM=√[(7/3-1)²+(-√3/9-0)²]=7√3/9，BE=√3=9√3/9。
∵9√3/9=2√3/9+7√3/9，∴BE=DM+EM。
(3) ∵菱形ABCD，∠DAB=30°，AB=3√6，B、D关于AC对称，QB=QD。
QB+QC+QD=2QB+QC。设AC=9+3√3，B((9+3√3)/2,(9-3√3)/2)。
当Q满足2√(u²+b²)-u最小（u=x-a），最小值为a+b√3=6√3。
∴QB+QC+QD的最小值为6√3。

菱形的判定方法：
(1) 对角线互相的平行四边形是菱形.
(2) 相等的四边形是菱形.

(1)垂直；(2)四条边

菱形的判定方法：
(1) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
(2) 四条边相等的四边形是菱形。

例1 如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE//AC，CE//BD，DE和CE交于点E. 求证：四边形OCED是菱形.

证明：
∵ DE//AC，CE//BD，
∴ 四边形OCED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OC=OD（矩形的对角线相等且互相平分）。
∴ 四边形OCED是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。