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例1 如图,四边形ABCD是菱形,∠ACD=30°,BD=6,求:
(1)∠BAD,∠ABC的度数;
(2)AB,AC的长.
(1)∠BAD,∠ABC的度数;
(2)AB,AC的长.
答案
(1)
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AC平分∠BCD。
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=2∠ACD=60°。
∵菱形对角相等，邻角互补，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ABC=180°-∠BAD=120°。
(2)设AC与BD交于点O，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，BO=OD=BD/2=3，AO=OC。
在Rt△OCD中，∠OCD=30°，∠COD=90°，
∴CD=2OD=6（直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半）。
∵菱形四边相等，
∴AB=CD=6。
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC=√(CD²-OD²)=√(6²-3²)=3√3，
∴AC=2OC=6√3。
结论：(1)∠BAD=60°，∠ABC=120°；(2)AB=6，AC=6√3。
∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，
∴AC平分∠BCD。
∵∠ACD=30°，
∴∠BCD=2∠ACD=60°。
∵菱形对角相等，邻角互补，
∴∠BAD=∠BCD=60°，∠ABC=180°-∠BAD=120°。
(2)设AC与BD交于点O，
∵菱形对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，BO=OD=BD/2=3，AO=OC。
在Rt△OCD中，∠OCD=30°，∠COD=90°，
∴CD=2OD=6（直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半）。
∵菱形四边相等，
∴AB=CD=6。
在Rt△OCD中，由勾股定理得OC=√(CD²-OD²)=√(6²-3²)=3√3，
∴AC=2OC=6√3。
结论：(1)∠BAD=60°，∠ABC=120°；(2)AB=6，AC=6√3。
变式训练 如图,已知菱形的周长为40 cm,两邻角度数之比为1:2.
(1)求菱形的两条对角线的长;
(2)求菱形的面积.
(1)求菱形的两条对角线的长;
(2)求菱形的面积.
答案
（1）两条对角线长分别为10√3 cm和10 cm；（2）菱形面积为50√3 cm²。
解析
（1）∵菱形周长为40cm，∴边长AB=40÷4=10cm。
∵菱形两邻角之比1:2且互补，设较小角为x，则x+2x=180°，解得x=60°，即∠BAD=60°，∠ABC=120°。
连接AC、BD交于点O，菱形对角线互相垂直平分且平分内角，∴∠BAO=30°，∠AOB=90°。
在Rt△ABO中，AB=10cm，∠BAO=30°，∴BO=AB×sin30°=10×1/2=5cm，故BD=2BO=10cm。
AO=√(AB²-BO²)=√(10²-5²)=5√3cm，故AC=2AO=10√3cm。
（2）菱形面积=1/2×AC×BD=1/2×10√3×10=50√3cm²。
∵菱形两邻角之比1:2且互补，设较小角为x，则x+2x=180°，解得x=60°，即∠BAD=60°，∠ABC=120°。
连接AC、BD交于点O，菱形对角线互相垂直平分且平分内角，∴∠BAO=30°，∠AOB=90°。
在Rt△ABO中，AB=10cm，∠BAO=30°，∴BO=AB×sin30°=10×1/2=5cm，故BD=2BO=10cm。
AO=√(AB²-BO²)=√(10²-5²)=5√3cm，故AC=2AO=10√3cm。
（2）菱形面积=1/2×AC×BD=1/2×10√3×10=50√3cm²。
例2 如图,四边形ABCD是菱形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F.
(1)求证:AE=AF;
(2)当菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8时,求AE的长.
(1)求证:AE=AF;
(2)当菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8时,求AE的长.
答案
(1)
证明：
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，$∠ B=∠ D$，
$\because AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AFD=90°$，
在$△ AEB$和$△ AFD$中，
$\begin{cases} ∠ AEB = ∠ AFD \\ ∠ B = ∠ D \\ AB = AD \end{cases}$
$\therefore △ AEB ≌ △ AFD$，
$\therefore AE=AF$。
(2)
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，$CO=\frac{1}{2}AC=3$，$BO=\frac{1}{2}BD=4$，
$\therefore BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=5$，
$\because S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=24$，
又$\because S_{菱形ABCD}=BC× AE$，
$\therefore BC× AE=24$，
$\therefore AE=\frac{24}{5}=4.8$。
证明：
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AB=AD$，$∠ B=∠ D$，
$\because AE⊥ BC$，$AF⊥ CD$，
$\therefore ∠ AEB=∠ AFD=90°$，
在$△ AEB$和$△ AFD$中，
$\begin{cases} ∠ AEB = ∠ AFD \\ ∠ B = ∠ D \\ AB = AD \end{cases}$
$\therefore △ AEB ≌ △ AFD$，
$\therefore AE=AF$。
(2)
$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC⊥ BD$，$CO=\frac{1}{2}AC=3$，$BO=\frac{1}{2}BD=4$，
$\therefore BC=\sqrt{OC^2+OB^2}=5$，
$\because S_{菱形ABCD}=\frac{1}{2}AC· BD=24$，
又$\because S_{菱形ABCD}=BC× AE$，
$\therefore BC× AE=24$，
$\therefore AE=\frac{24}{5}=4.8$。
变式训练 如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且AE=CF.求证:AF=CE.
答案
AF=CE
解析
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∠B=∠B。∵AE=CF，∴AB-AE=BC-CF，即BE=BF。在△ABF和△CBE中，AB=CB，∠B=∠B，BF=BE，∴△ABF≌△CBE（SAS），∴AF=CE。
1. 菱形具有而一般矩形不具有的性质是()
A.对角相等
B.四边相等
C.对角线互相平分
D.四角相等
A.对角相等
B.四边相等
C.对角线互相平分
D.四角相等
答案
B
解析
菱形的性质有四边相等，对角线互相垂直平分，对角相等且邻角互补等；矩形的性质有对边相等，四个角均为直角，对角线互相平分且相等，对角相等。
选项A，对角相等：菱形和矩形的对角都相等，所以不是菱形独有。
选项B，四边相等：菱形的四边都相等，而矩形的对边相等但邻边不一定相等，所以这是菱形具有而矩形不一定具有的性质。
选项C，对角线互相平分：菱形和矩形的对角线都能互相平分，所以不是菱形独有。
选项D，四角相等：矩形的四个角都是直角，即四角相等，而菱形的四角不一定相等，所以不是菱形独有。
综上所述，只有选项B是菱形具有而矩形不一定具有的性质。
选项A，对角相等：菱形和矩形的对角都相等，所以不是菱形独有。
选项B，四边相等：菱形的四边都相等，而矩形的对边相等但邻边不一定相等，所以这是菱形具有而矩形不一定具有的性质。
选项C，对角线互相平分：菱形和矩形的对角线都能互相平分，所以不是菱形独有。
选项D，四角相等：矩形的四个角都是直角，即四角相等，而菱形的四角不一定相等，所以不是菱形独有。
综上所述，只有选项B是菱形具有而矩形不一定具有的性质。
2. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,M为AD的中点,如果OM=3 cm,则菱形ABCD的周长为()
A.6 cm
B.12 cm
C.18 cm
D.24 cm
A.6 cm
B.12 cm
C.18 cm
D.24 cm
答案
D
解析
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD。在Rt△AOD中，M为AD的中点，∴OM是斜边AD上的中线，∴AD=2OM=2×3=6cm。∴菱形ABCD的周长=4AD=4×6=24cm。
