2. 如图,将$□ ABCD$的边$DC$延长到点$E$,使$CE = DC$,连接$AE$,交$BC$于点$F$.添加一个条件,使四边形$ABEC$是矩形.下列四个条件中:①$∠ DAC=∠ EAC$,②$AD = AE$,③$AB = AD$,④$∠ AFC = 2∠ ABC$,合适的有()


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD。
∵CE=DC，∴AB=CE，AB//CE，∴四边形ABEC是平行四边形。
条件①：∠DAC=∠EAC。
∵AD//BC，∴∠DAC=∠ACB（内错角）。
∵∠DAC=∠EAC，∴∠EAC=∠ACB，∴AF=FC（等角对等边）。
∵四边形ABEC是平行四边形，∴AE与BC互相平分，即AE=2AF，BC=2FC。
∵AF=FC，∴AE=BC，∴平行四边形ABEC对角线相等，为矩形。
条件②：AD=AE。
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴AE=BC。
∴平行四边形ABEC对角线相等，为矩形。
条件③：AB=AD。
则▱ABCD是菱形，AB=AD=BC=CD，但无法得出▱ABEC有直角或对角线相等，不是矩形。
条件④：∠AFC=2∠ABC。
∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC=∠ABC+∠BAF。
∵∠AFC=2∠ABC，∴∠BAF=∠ABC，∴AF=BF（等角对等边）。
∵四边形ABEC是平行四边形，∴BF=FC，∴AF=BF=FC。
在△ABC中，AF=BC/2，∴∠BAC=90°（直角三角形斜边中线定理逆定理）。
∴平行四边形ABEC有一个直角，为矩形。
综上，①②④合适，共3个。

3. 如图,一根竹子原来高1丈($1$丈$ = 10$尺),折断后顶端触到墙上距地面9尺的点$P$处,墙脚$O$离竹根$A$点3尺远.则折断处$B$离地面尺.

5

设折断处B离地面的高度为$x$尺，则折断后顶端到折断处的长度为$(10 - x)$尺。由题意知，竹根$A$与墙脚$O$的距离$OA = 3$尺，墙面上触点$P$距地面$9$尺，即$P$点到地面的垂直距离为$9$尺。
由于$AB$垂直于地面，$PO$垂直于地面，故$B$点坐标为$(0, x)$，$P$点坐标为$(3, 9)$。根据两点间距离公式，$BP$的长度为$\sqrt{(3 - 0)^2 + (9 - x)^2}$。
又因为$BP = 10 - x$，所以$\sqrt{3^2 + (9 - x)^2} = 10 - x$。两边平方得：$9 + (9 - x)^2 = (10 - x)^2$，展开并化简：$9 + 81 - 18x + x^2 = 100 - 20x + x^2$，解得$2x = 10$，$x = 5$。

4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ BAC = 90^{\circ}$,且$AB = 3$,$AC = 4$,$D$是斜边$BC$上的一个动点,过点$D$分别作$DM⊥ AB$于点$M$,$DN⊥ AC$于点$N$,连接$MN$,则线段$MN$的最小值为.

12/5

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，由勾股定理得BC=5。
∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC=90°，∴四边形AMDN为矩形，∴MN=AD（矩形对角线相等）。
AD为点A到BC的距离，当AD⊥BC时，AD最小（垂线段最短）。
由面积法：S△ABC=1/2×AB×AC=1/2×BC×AD，即1/2×3×4=1/2×5×AD，解得AD=12/5。
∴MN的最小值为12/5。

5. 如图,在$△ ABC$中,$D$,$E$分别为$AB$,$AC$的中点,$DF⊥ BC$,垂足为$F$,点$G$在$DE$的延长线上,$DG = FC$.
(1)求证:四边形$DFCG$是矩形;
(2)若$∠ B = 45^{\circ}$,$DF = 3$,$DG = 5$,求$BC$和$AC$的长.

(1)证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=1/2BC。
∵点G在DE的延长线上，
∴DG//BC。
∵DF⊥BC，
∴∠DFC=90°，DF⊥DG，即∠FDG=90°。
∵DG=FC，
∴四边形DFCG是平行四边形。又
∵∠DFC=90°，
∴四边形DFCG是矩形。
(2)解：
∵DF⊥BC，∠B=45°，
∴△DFB是等腰直角三角形，
∴BF=DF=3。
∵四边形DFCG是矩形，
∴FC=DG=5，
∴BC=BF+FC=3+5=8。
在Rt△DFB中，DB=√(DF²+BF²)=√(3²+3²)=3√2。
∵D是AB中点，
∴AB=2DB=6√2。过A作AH⊥BC于H，在Rt△ABH中，∠B=45°，
∴AH=BH=AB·sin45°=6√2×(√2/2)=6，
∴HC=BC-BH=8-6=2。在Rt△AHC中，AC=√(AH²+HC²)=√(6²+2²)=√40=2√10。
综上，BC=8，AC=2√10。

6. 在四边形$ABCD$中,$AD// BC$,$CD⊥ BC$,$BC = 2AD$,$F$是$BC$的中点.
(1)如图1,求证:四边形$AFCD$是矩形;
(2)如图2,过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$,连接$DE$,$EF$,求证:$DE = DC$.

(1)证明：∵F是BC中点，∴BC=2FC，
∵BC=2AD，∴AD=FC，
∵AD//BC，∴四边形AFCD是平行四边形，
∵CD⊥BC，∴∠C=90°，
∴平行四边形AFCD是矩形.
(2)证明：∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，
∵F是BC中点，∴EF=BF=FC（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∵BC=2AD，F为BC中点，∴AD=BF，
∵AD//BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴AB//DF，
∴∠BEF=∠EFD（两直线平行，内错角相等），
∵EF=BF，∴∠B=∠BEF，∴∠B=∠EFD，
∵AD//BC，∴∠ADF=∠DFC（两直线平行，内错角相等），
∵四边形ABFD是平行四边形，∴∠B=∠ADF，∴∠EFD=∠DFC，
在△EFD和△CFD中，
$\{\begin{array}{l} EF=CF\\ ∠EFD=∠CFD\\ FD=FD\end{array} $，
∴△EFD≌△CFD(SAS)，∴DE=DC.

性质1:菱形的四条边.
性质2:菱形的对角线,并且每一条对角线.
符号语言(如图):
(1)若四边形ABCD是菱形,

则AB===.
(2)若四边形ABCD是菱形,则ACBD,AC平分,BD平分.
菱形的面积公式:.

性质1: 都相等；
性质2: 互相垂直，平分一组对角；
(1)$BC$，$CD$，$AD$；
(2)$\bot$，$∠ BCD$和$∠ BAD$，$∠ ABC$和$∠ ADC$；
菱形的面积等于两对角线乘积的一半。

性质1：根据菱形的定义，菱形的四条边都相等。
性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
符号语言：
(1)若四边形$ABCD$是菱形，则$AB=BC=CD=AD$。
(2)若四边形$ABCD$是菱形，则$AC\bot BD$，$AC$平分$∠ BCD$和$∠ BAD$，$BD$平分$∠ ABC$和$∠ ADC$。
菱形的面积可以根据其对角线的长度来计算，面积公式为菱形的面积等于两对角线乘积的一半。