例1 如图,在平行四边形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,且$OA = OD$,$∠ OAB = 50^{\circ}$,求$∠ OAD$的度数.

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AD//BC。
∵OA=OD，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°。
∵∠OAB=50°，
∴∠OAD=∠DAB - ∠OAB=90° - 50°=40°。
答：∠OAD的度数为40°。

变式训练 如图,$AD$是等腰$△ ABC$底边$BC$上的高.$O$是$AC$的中点,延长$DO$到$E$,使$OE = OD$,连接$AE$,$CE$.求$∠ AEC$的度数.

【解析】：
∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴BD=DC，∠ADC=90°（等腰三角形三线合一）。
∵O是AC的中点，
∴OD是Rt△ADC斜边AC上的中线，
∴OD=OA=OC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵OE=OD，
∴OA=OC=OE=OD，
∴四边形ADCE是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）。
∴∠AEC=90°（矩形的四个角都是直角）。
【答案】：90°

∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，
∴BD=DC，∠ADC=90°（等腰三角形三线合一）。
∵O是AC的中点，
∴OD是Rt△ADC斜边AC上的中线，
∴OD=OA=OC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵OE=OD，
∴OA=OC=OE=OD，
∴四边形ADCE是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）。
∴∠AEC=90°（矩形的四个角都是直角）。

例2 如图,四边形$ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$AO = CO$,$BO = DO$,且$∠ ABC+∠ ADC = 180^{\circ}$.
(1)求证:四边形$ABCD$是矩形;
(2)若$∠ ADB:∠ CDB = 2:3$,$DE⊥ AC$交$BC$于点$E$,则$∠ BDE$的度数是多少?

(1)证明：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC（平行四边形对角相等）。又
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴2∠ABC=180°，
∴∠ABC=90°。
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC=OB=OD。设∠ADB=2x，∠CDB=3x，
∵∠ADB+∠CDB=∠ADC=90°，
∴2x+3x=90°，解得x=18°，
∴∠ADB=36°，∠CDB=54°。
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADB=36°。在△AOD中，∠AOD=180°-∠OAD-∠ADB=180°-36°-36°=108°，
∴∠COD=180°-∠AOD=72°（邻补角定义）。设DE交AC于点F，
∵DE⊥AC，
∴∠OFD=90°。在Rt△OFD中，∠ODF=90°-∠COD=90°-72°=18°，即∠BDE=18°。
答案：(1)见证明过程；(2)18°

(1)证明：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC（平行四边形对角相等）。又∵∠ABC+∠ADC=180°，∴2∠ABC=180°，∴∠ABC=90°。∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC=OB=OD。设∠ADB=2x，∠CDB=3x，∵∠ADB+∠CDB=∠ADC=90°，∴2x+3x=90°，解得x=18°，∴∠ADB=36°，∠CDB=54°。∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADB=36°。在△AOD中，∠AOD=180°-∠OAD-∠ADB=180°-36°-36°=108°，∴∠COD=180°-∠AOD=72°（邻补角定义）。设DE交AC于点F，∵DE⊥AC，∴∠OFD=90°。在Rt△OFD中，∠ODF=90°-∠COD=90°-72°=18°，即∠BDE=18°。

变式训练 如图,三角形$ABC$是直角三角形,$BO$是斜边$AC$上的中线,延长$BO$至$D$,使$OD = OB$,连接$AD$,$CD$.求证:四边形$ABCD$是矩形.

【解析】：
∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴AO=CO（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵OD=OB，
∴四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】：四边形ABCD是矩形

∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，
∴AO=CO（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∵OD=OB，
∴四边形ABCD的对角线AC、BD互相平分（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴四边形ABCD是平行四边形。
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。

1. 如图,建筑公司验收时要求门框是矩形.在$□ ABCD$中,$AC$,$BD$相交于点$O$,下列验证方法不正确的是()

A.$AC = BD$
B.$AB⊥ BC$
C.$OB = OD$
D.$OA = OD$

C

矩形的判定方法有多个，其中包括：对角线相等的平行四边形是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形等。
选项A，若$AC = BD$，根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项A是正确的验证方法。
选项B，若$AB ⊥ BC$，则$∠ ABC$是一个直角，一个角是直角的平行四边形是矩形，所以选项B也是正确的验证方法。
选项C，对于平行四边形，对角线互相平分，即$OB$始终等于$OD$在，因此$OB = OD$并不能证明平行四边形ABCD是矩形，所以选项C是不正确的验证方法。
选项D，若$OA = OD$，则说明对角线$AC$和$BD$不仅互相平分，而且长度相等（因为$OA$是$AC$的一半，$OD$是$BD$的一半，如果$OA = OD$，则$AC = BD$），所以选项D是正确的验证方法。
综上所述，选项C是不正确的验证方法。