1. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB = 60°，AC + AB = 12，则边AB的长为()

A.3
B.4
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{2}$

B

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，∠ABC=90°，∴OA=OB。∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=1/2AC，即AC=2AB。∵AC+AB=12，∴2AB+AB=12，解得AB=4。

2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE = 15°，连接OE，则下面的结论中正确的有()
①△DOC是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC = 2AB；④∠AOE = 150°；⑤$S_{△AOE} = S_{△COE}$.

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

B

∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OB=OC=OD，AC=BD。
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=45°，又∠CAE=15°，∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°。
∵OA=OB，∠BAC=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB，∠AOB=60°。
①△DOC：∵OD=OC，∠DOC=∠AOB=60°，∴△DOC是等边三角形，①正确。
②△BOE：∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB=BE。又AB=BO，∴BE=BO，∴△BOE是等腰三角形，②正确。
③BC=2AB：在Rt△ABC中，∠BAC=60°，∴BC=AB·tan60°=√3AB≠2AB，③错误。
④∠AOE=150°：∠ABO=60°，∠ABC=90°，∴∠OBE=30°。∵BE=BO，∴∠BOE=(180°-30°)/2=75°，∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°≠150°，④错误。
⑤S△AOE=S△COE：∵O是AC中点，△AOE与△COE等底等高，∴面积相等，⑤正确。
综上，正确的有①②⑤，共3个。

3. 如图1是民间游戏翻花绳的一种图案，可以抽象成图2，在矩形ABCD中，IJ // KL，EF // GH，∠1 = ∠2 = 30°，则∠3的度数为.

60

在矩形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°。因为IJ//KL，EF//GH，∠1=∠2=30°。由平行线性质，EF与IJ的夹角∠1=30°，则EF与矩形边（如AD）的夹角为30°，其与矩形另一边（如AB）的夹角为90°-30°=60°。又因EF//GH，IJ//KL，通过同位角、内错角转化，可得∠3=60°。

4. 如图，BE和CD是△ABC的高，G，F分别是DE，BC的中点，连接DF，EF，FG.
(1) 求证：DF = EF；
(2) 若BC = 29，DE = 21，求FG的长.

(1) 证明：
∵CD、BE是△ABC的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°，
∴△BDC和△BEC是直角三角形。
∵F是BC中点，
∴DF是Rt△BDC斜边BC的中线，EF是Rt△BEC斜边BC的中线。
∴DF=1/2BC，EF=1/2BC，
∴DF=EF。
(2) 解：由(1)知DF=EF，
∴△DEF是等腰三角形。
∵G是DE中点，
∴FG⊥DE（等腰三角形三线合一），DG=1/2DE=21/2=10.5。
∵BC=29，
∴DF=1/2BC=29/2=14.5。
在Rt△DFG中，FG=√(DF²-DG²)=√[(14.5)²-(10.5)²]=√[(14.5-10.5)(14.5+10.5)]=√(4×25)=√100=10。
答案：(1) 见证明；(2) 10。

(1) 证明：∵CD、BE是△ABC的高，∴∠BDC=∠BEC=90°，∴△BDC和△BEC是直角三角形。
∵F是BC中点，∴DF是Rt△BDC斜边BC的中线，EF是Rt△BEC斜边BC的中线。
∴DF=1/2BC，EF=1/2BC，∴DF=EF。
(2) 解：由(1)知DF=EF，∴△DEF是等腰三角形。
∵G是DE中点，∴FG⊥DE（等腰三角形三线合一），DG=1/2DE=21/2=10.5。
∵BC=29，∴DF=1/2BC=29/2=14.5。
在Rt△DFG中，FG=√(DF²-DG²)=√[(14.5)²-(10.5)²]=√[(14.5-10.5)(14.5+10.5)]=√(4×25)=√100=10。

5. 如图，在矩形ABCD中，AB = 12 cm，BC = 6 cm. 点P从点A出发沿AB边向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点D出发沿DA边向点A以1 cm/s的速度移动. 点P，Q同时出发，用t(s)表示移动时间(0 ≤ t ≤ 6).
(1) t为何值时，△QAP为等腰直角三角形?
(2) 求四边形QAPC的面积，并说明该面积是否与t的大小有关.

(1) 由题意得，AP = 2t cm，DQ = t cm，AD = BC = 6 cm，所以 AQ = AD - DQ = (6 - t) cm。
△QAP 为等腰直角三角形，且∠A = 90°，则 AQ = AP。
即 6 - t = 2t，解得 t = 2。
∵ 0 ≤ 2 ≤ 6，
∴ t = 2。
(2) 矩形 ABCD 面积为 AB·BC = 12×6 = 72 cm²。
△QDC 面积：DQ = t，DC = AB = 12 cm，S△QDC = 1/2·DC·DQ = 1/2×12×t = 6t cm²。
△PBC 面积：PB = AB - AP = 12 - 2t，BC = 6 cm，S△PBC = 1/2·PB·BC = 1/2×(12 - 2t)×6 = (36 - 6t) cm²。
四边形 QAPC 面积 = 矩形 ABCD 面积 - S△QDC - S△PBC = 72 - 6t - (36 - 6t) = 36 cm²。
故四边形 QAPC 面积为 36 cm²，与 t 的大小无关。
答案：(1) t = 2；(2) 36 cm²，与 t 无关。

(1) 由题意得，AP = 2t cm，DQ = t cm，AD = BC = 6 cm，所以 AQ = AD - DQ = (6 - t) cm。
△QAP 为等腰直角三角形，且∠A = 90°，则 AQ = AP。
即 6 - t = 2t，解得 t = 2。
∵ 0 ≤ 2 ≤ 6，∴ t = 2。
(2) 矩形 ABCD 面积为 AB·BC = 12×6 = 72 cm²。
△QDC 面积：DQ = t，DC = AB = 12 cm，S△QDC = 1/2·DC·DQ = 1/2×12×t = 6t cm²。
△PBC 面积：PB = AB - AP = 12 - 2t，BC = 6 cm，S△PBC = 1/2·PB·BC = 1/2×(12 - 2t)×6 = (36 - 6t) cm²。
四边形 QAPC 面积 = 矩形 ABCD 面积 - S△QDC - S△PBC = 72 - 6t - (36 - 6t) = 36 cm²。
故四边形 QAPC 面积为 36 cm²，与 t 的大小无关。

1. 对角线的平行四边形是矩形.
2. 有三个角是的四边形是矩形.

符号语言:如图,在平行四边形$ABCD$中,若$AC = BD$,则;在四边形$ABCD$中,若$∠ A=∠ B=∠ C = 90^{\circ}$,则.
思考 对角线有什么关系的四边形是矩形?
填空 四边形$ABCD$是平行四边形,若,则四边形$ABCD$是矩形.

1. 相等
2. 直角
符号语言: 四边形$ABCD$是矩形; 四边形$ABCD$是矩形
填空: $AC = BD$

1. 根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形。
2. 有三个角是直角的四边形是矩形。
符号语言: 如图,在平行四边形$ABCD$中，若$AC = BD$，则四边形$ABCD$是矩形；在四边形$ABCD$中，若$∠A = ∠B = ∠C = 90^{\circ}$，则四边形$ABCD$是矩形。
思考: 对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
填空: 四边形$ABCD$是平行四边形，若$AC = BD$，则四边形$ABCD$是矩形。