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1. 有一个角是的平行四边形叫作矩形.
答案
直角
解析
根据矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2. 矩形的四个角都是，矩形的对角线.
答案
直角；相等
解析
本题可根据矩形的性质来填空。矩形的定义为有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据平行四边形的性质以及直角的特点可推出矩形的角的特点；再根据平行四边形对角线的性质和全等三角形的性质可得到矩形对角线的特点。
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，根据题目要求此处填写矩形对角线的关键性质为相等。
矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等且互相平分，根据题目要求此处填写矩形对角线的关键性质为相等。
3. 直角三角形等于斜边的一半.
答案
斜边上的中线
解析
根据矩形的性质，矩形的对角线相等且互相平分。在直角三角形中，构造矩形，直角三角形的斜边为矩形的一条对角线，斜边上的中线为矩形对角线的一半，所以直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
思考 矩形定义中为什么不说有两个角或三个角是直角呢?
填空 (1)一个矩形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，那么它的宽是cm.
(2)矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠AOB = 60°，AC = 6，则AB的长为.
填空 (1)一个矩形的周长是16 cm，长比宽多2 cm，那么它的宽是cm.
(2)矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若∠AOB = 60°，AC = 6，则AB的长为.
答案
(1)设矩形的宽为$x$ cm，则长为$(x + 2)$ cm。
由矩形周长公式得：$2(x + x + 2) = 16$，
化简得：$2(2x + 2) = 16$，$4x + 4 = 16$，$4x = 12$，解得$x = 3$。
(2)在矩形$ABCD$中，$AC = BD = 6$，且对角线互相平分，故$AO = BO = \frac{1}{2}AC = 3$。
又$∠ AOB = 60°$，所以$△ AOB$为等边三角形，因此$AB = AO = 3$。
答案：(1)3；(2)3。
由矩形周长公式得：$2(x + x + 2) = 16$，
化简得：$2(2x + 2) = 16$，$4x + 4 = 16$，$4x = 12$，解得$x = 3$。
(2)在矩形$ABCD$中，$AC = BD = 6$，且对角线互相平分，故$AO = BO = \frac{1}{2}AC = 3$。
又$∠ AOB = 60°$，所以$△ AOB$为等边三角形，因此$AB = AO = 3$。
答案：(1)3；(2)3。
解析
(1)设矩形的宽为$x$ cm，则长为$(x + 2)$ cm。
由矩形周长公式得：$2(x + x + 2) = 16$，
化简得：$2(2x + 2) = 16$，$4x + 4 = 16$，$4x = 12$，解得$x = 3$。
(2)在矩形$ABCD$中，$AC = BD = 6$，且对角线互相平分，故$AO = BO = \frac{1}{2}AC = 3$。
又$∠ AOB = 60°$，所以$△ AOB$为等边三角形，因此$AB = AO = 3$。
由矩形周长公式得：$2(x + x + 2) = 16$，
化简得：$2(2x + 2) = 16$，$4x + 4 = 16$，$4x = 12$，解得$x = 3$。
(2)在矩形$ABCD$中，$AC = BD = 6$，且对角线互相平分，故$AO = BO = \frac{1}{2}AC = 3$。
又$∠ AOB = 60°$，所以$△ AOB$为等边三角形，因此$AB = AO = 3$。
例1 如图，矩形ABCD中，点E在CD边的延长线上，且∠EAD = ∠CAD.
求证：AE = BD.
求证：AE = BD.
答案
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AC=BD，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BCA，∠ADE=180°-∠ADC=90°=∠ADC.
∵∠EAD=∠CAD，
∴∠EAD=∠BCA.
在△AED和△CBA中，
∠EAD=∠BCA，
AD=CB（矩形对边相等），
∠ADE=∠CBA=90°，
∴△AED≌△CAB（ASA），
∴AE=AC.
又
∵AC=BD，
∴AE=BD.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AC=BD，∠ADC=90°，
∴∠CAD=∠BCA，∠ADE=180°-∠ADC=90°=∠ADC.
∵∠EAD=∠CAD，
∴∠EAD=∠BCA.
在△AED和△CBA中，
∠EAD=∠BCA，
AD=CB（矩形对边相等），
∠ADE=∠CBA=90°，
∴△AED≌△CAB（ASA），
∴AE=AC.
又
∵AC=BD，
∴AE=BD.
变式训练 如图，在矩形ABCD中，AE ⊥ BD于点E，BF ⊥ AC于点F.
求证：AE = BF.
求证：AE = BF.
答案
【解析】：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，
∴OA=OB。
∵AE⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AEO=∠BFO=90°。在△AEO和△BFO中，∠AEO=∠BFO，∠AOE=∠BOF，OA=OB，
∴△AEO≌△BFO（AAS），
∴AE=BF。
【答案】：AE=BF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，
∴OA=OB。
∵AE⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AEO=∠BFO=90°。在△AEO和△BFO中，∠AEO=∠BFO，∠AOE=∠BOF，OA=OB，
∴△AEO≌△BFO（AAS），
∴AE=BF。
【答案】：AE=BF
解析
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，∴OA=OB。∵AE⊥BD，BF⊥AC，∴∠AEO=∠BFO=90°。在△AEO和△BFO中，∠AEO=∠BFO，∠AOE=∠BOF，OA=OB，∴△AEO≌△BFO（AAS），∴AE=BF。
例2 如图，矩形ABCD中，AE ⊥ BD于点E，∠ABD = 2∠CBD，BE = 2. 求AC的长.
名师导引 矩形的相关计算，常与直角三角形的性质结合起来.
名师导引 矩形的相关计算，常与直角三角形的性质结合起来.
答案
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OB=OC=OD（矩形对角线相等且互相平分）。
设∠CBD=x，则∠ABD=2x，
∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=90°，
∴2x+x=90°，解得x=30°，
∴∠ABD=60°。
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠ABD=30°，
∴AB=2BE（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
∵BE=2，
∴AB=4。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°-∠ABD=30°，
∴BD=2AB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），
∴BD=2×4=8。
∵AC=BD，
∴AC=8。
答案：8
解析
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AC=BD，OA=OB=OC=OD（矩形对角线相等且互相平分）。
设∠CBD=x，则∠ABD=2x，∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=90°，∴2x+x=90°，解得x=30°，∴∠ABD=60°。
∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠ABD=30°，∴AB=2BE（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），∵BE=2，∴AB=4。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°-∠ABD=30°，∴BD=2AB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），∴BD=2×4=8。
∵AC=BD，∴AC=8。
设∠CBD=x，则∠ABD=2x，∵∠ABD+∠CBD=∠ABC=90°，∴2x+x=90°，解得x=30°，∴∠ABD=60°。
∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠BAE=90°-∠ABD=30°，∴AB=2BE（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），∵BE=2，∴AB=4。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°-∠ABD=30°，∴BD=2AB（直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半），∴BD=2×4=8。
∵AC=BD，∴AC=8。
变式训练 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE = CF，连接EF，BF，EF与对角线相交于点O，且BE = BF，∠BEF = 2∠BAC.
(1) 求证：OE = OF；
(2) 若AC = 6，求AB的长.
(1) 求证：OE = OF；
(2) 若AC = 6，求AB的长.
答案
【解析】：(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF。在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF。
(2)设∠BAC=α，则∠BEF=2α。
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=AC/2=3，
∴∠OBA=∠BAC=α。
∵AB//CD，AE=CF，
∴BE=DF且BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE，EF=2OE。
∵BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形，∠BEF=∠BFE=2α，
∴∠EBF=180°-4α。
∵∠OBA=α，OB=3，∠EBF=∠OBA+∠OBE，且∠OBE=∠BEF=2α（EF//BD，内错角相等），
∴α+2α=180°-4α，解得α=30°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AC=6，
∴BC=AC/2=3，AB=√(AC²-BC²)=√(36-9)=3√3。
【答案】：(1)见解析；(2)3√3
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF。在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OE=OF。
(2)设∠BAC=α，则∠BEF=2α。
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=AC/2=3，
∴∠OBA=∠BAC=α。
∵AB//CD，AE=CF，
∴BE=DF且BE//DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴BF=DE，EF=2OE。
∵BE=BF，
∴△BEF是等腰三角形，∠BEF=∠BFE=2α，
∴∠EBF=180°-4α。
∵∠OBA=α，OB=3，∠EBF=∠OBA+∠OBE，且∠OBE=∠BEF=2α（EF//BD，内错角相等），
∴α+2α=180°-4α，解得α=30°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AC=6，
∴BC=AC/2=3，AB=√(AC²-BC²)=√(36-9)=3√3。
【答案】：(1)见解析；(2)3√3
解析
(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB//CD，∴∠OAE=∠OCF。在△AOE和△COF中，∠OAE=∠OCF，∠AOE=∠COF，AE=CF，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴OE=OF。
(2)设∠BAC=α，则∠BEF=2α。∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=AC/2=3，∴∠OBA=∠BAC=α。∵AB//CD，AE=CF，∴BE=DF且BE//DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BF=DE，EF=2OE。∵BE=BF，∴△BEF是等腰三角形，∠BEF=∠BFE=2α，∴∠EBF=180°-4α。∵∠OBA=α，OB=3，∠EBF=∠OBA+∠OBE，且∠OBE=∠BEF=2α（EF//BD，内错角相等），∴α+2α=180°-4α，解得α=30°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AC=6，∴BC=AC/2=3，AB=√(AC²-BC²)=√(36-9)=3√3。
(2)设∠BAC=α，则∠BEF=2α。∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=AC/2=3，∴∠OBA=∠BAC=α。∵AB//CD，AE=CF，∴BE=DF且BE//DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BF=DE，EF=2OE。∵BE=BF，∴△BEF是等腰三角形，∠BEF=∠BFE=2α，∴∠EBF=180°-4α。∵∠OBA=α，OB=3，∠EBF=∠OBA+∠OBE，且∠OBE=∠BEF=2α（EF//BD，内错角相等），∴α+2α=180°-4α，解得α=30°。在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AC=6，∴BC=AC/2=3，AB=√(AC²-BC²)=√(36-9)=3√3。
