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变式训练 如图，在四边形ABCD中，AD = BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点。求证：△EFG是等腰三角形。
答案
【解析】：
∵E是AB中点，G是AC中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG = 1/2 BC（三角形中位线定理）。
∵F是CD中点，G是AC中点，
∴FG是△ACD的中位线，
∴FG = 1/2 AD（三角形中位线定理）。
∵AD = BC，
∴EG = FG。
∴△EFG是等腰三角形。
【答案】：△EFG是等腰三角形
∵E是AB中点，G是AC中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG = 1/2 BC（三角形中位线定理）。
∵F是CD中点，G是AC中点，
∴FG是△ACD的中位线，
∴FG = 1/2 AD（三角形中位线定理）。
∵AD = BC，
∴EG = FG。
∴△EFG是等腰三角形。
【答案】：△EFG是等腰三角形
解析
∵E是AB中点，G是AC中点，
∴EG是△ABC的中位线，
∴EG = 1/2 BC（三角形中位线定理）。
∵F是CD中点，G是AC中点，
∴FG是△ACD的中位线，
∴FG = 1/2 AD（三角形中位线定理）。
∵AD = BC，
∴EG = FG。
∴△EFG是等腰三角形。
1. 如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端。小华准备用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长。一个同学帮他想了个办法：先在地上取一个能直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10 m，则A，B间的距离为()
A.15 m
B.20 m
C.25 m
D.30 m
A.15 m
B.20 m
C.25 m
D.30 m
答案
B
解析
∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线。根据三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，可得DE = 1/2 AB。∵DE = 10 m，∴AB = 2DE = 2×10 = 20 m。
2. 如图，在△ABC中，AB = 4，BC = 2，AC = $2\sqrt{5}$，D，E，F分别是三边的中点，则△DEF的面积为()
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.1
D.2
A.$\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{5}$
C.1
D.2
答案
C
解析
∵AB=4，BC=2，AC=2√5，∴AB²+BC²=4²+2²=16+4=20=(2√5)²=AC²，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°，S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×4×2=4。∵D、E、F是三边中点，∴DE、EF、FD是△ABC的中位线，∴DE=1/2AC，EF=1/2AB，FD=1/2BC，∴△DEF∽△ACB，相似比为1/2，∴S△DEF=(1/2)²×S△ABC=1/4×4=1。
3. 如图，D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，在AC的延长线上取一点F，使EF = BC，且∠DEF = ∠ACB，已知DF = 6，则DE = 。
答案
【解析】：
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，设DE=k。
∵∠DEF=∠ACB，∠EDC=∠EDF（公共角），
∴△ECD∽△FED。
∵E是BC中点，EF=BC，设EC=m，则BC=2m，EF=2m，
∴EC/EF=1/2。
由相似三角形对应边成比例得：ED/FD=EC/EF=1/2。
∵DF=6，
∴ED=1/2×6=3，即DE=3。
【答案】：3
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，设DE=k。
∵∠DEF=∠ACB，∠EDC=∠EDF（公共角），
∴△ECD∽△FED。
∵E是BC中点，EF=BC，设EC=m，则BC=2m，EF=2m，
∴EC/EF=1/2。
由相似三角形对应边成比例得：ED/FD=EC/EF=1/2。
∵DF=6，
∴ED=1/2×6=3，即DE=3。
【答案】：3
解析
∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，设DE=k。
∵∠DEF=∠ACB，∠EDC=∠EDF（公共角），∴△ECD∽△FED。
∵E是BC中点，EF=BC，设EC=m，则BC=2m，EF=2m，∴EC/EF=1/2。
由相似三角形对应边成比例得：ED/FD=EC/EF=1/2。
∵DF=6，∴ED=1/2×6=3，即DE=3。
∵∠DEF=∠ACB，∠EDC=∠EDF（公共角），∴△ECD∽△FED。
∵E是BC中点，EF=BC，设EC=m，则BC=2m，EF=2m，∴EC/EF=1/2。
由相似三角形对应边成比例得：ED/FD=EC/EF=1/2。
∵DF=6，∴ED=1/2×6=3，即DE=3。
4. 如图，△ABC中，BA = BC = 5，AC = 6，D，E分别是边AC，BC上的动点，分别取AD，DE的中点M，N，则MN的最小值是。
答案
12/5
解析
连接AE，∵M、N分别是AD、DE的中点，∴MN是△ADE的中位线，∴MN=1/2AE。要使MN最小，需AE最小。在△ABC中，BA=BC=5，AC=6，当AE⊥BC时，AE最小。作BF⊥AC于F，由等腰三角形性质得AF=3，在Rt△ABF中，BF=√(5²-3²)=4，S△ABC=1/2×6×4=12。又S△ABC=1/2×BC×AE，即1/2×5×AE=12，解得AE=24/5。∴MN=1/2×24/5=12/5。
5. 如图，△ABC的周长为12，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC = 5，求线段MN的长。
答案
∵△ABC周长为12，BC=5，
∴AB+AC=12-5=7。
∵BN平分∠ABC且BN⊥AE，
∴在△ABN和△EBN中，∠ABN=∠EBN，BN=BN，∠ANB=∠ENB=90°，
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AB=BE，AN=NE（N为AE中点）。
同理，CM平分∠ACB且CM⊥AD，
在△ACM和△DCM中，∠ACM=∠DCM，CM=CM，∠AMC=∠DMC=90°，
∴△ACM≌△DCM（ASA），
∴AC=CD，AM=MD（M为AD中点）。
∵BE=AB，CD=AC，
∴BE+CD=AB+AC=7。
又
∵BE+CD=BC+DE，BC=5，
∴7=5+DE，
∴DE=2。
∵M、N分别为AD、AE中点，
∴MN是△ADE中位线，
∴MN=1/2 DE=1/2×2=1。
答案：1
解析
∵△ABC周长为12，BC=5，∴AB+AC=12-5=7。
∵BN平分∠ABC且BN⊥AE，
∴在△ABN和△EBN中，∠ABN=∠EBN，BN=BN，∠ANB=∠ENB=90°，
∴△ABN≌△EBN（ASA），∴AB=BE，AN=NE（N为AE中点）。
同理，CM平分∠ACB且CM⊥AD，
在△ACM和△DCM中，∠ACM=∠DCM，CM=CM，∠AMC=∠DMC=90°，
∴△ACM≌△DCM（ASA），∴AC=CD，AM=MD（M为AD中点）。
∵BE=AB，CD=AC，∴BE+CD=AB+AC=7。
又∵BE+CD=BC+DE，BC=5，∴7=5+DE，∴DE=2。
∵M、N分别为AD、AE中点，∴MN是△ADE中位线，
∴MN=1/2 DE=1/2×2=1。
∵BN平分∠ABC且BN⊥AE，
∴在△ABN和△EBN中，∠ABN=∠EBN，BN=BN，∠ANB=∠ENB=90°，
∴△ABN≌△EBN（ASA），∴AB=BE，AN=NE（N为AE中点）。
同理，CM平分∠ACB且CM⊥AD，
在△ACM和△DCM中，∠ACM=∠DCM，CM=CM，∠AMC=∠DMC=90°，
∴△ACM≌△DCM（ASA），∴AC=CD，AM=MD（M为AD中点）。
∵BE=AB，CD=AC，∴BE+CD=AB+AC=7。
又∵BE+CD=BC+DE，BC=5，∴7=5+DE，∴DE=2。
∵M、N分别为AD、AE中点，∴MN是△ADE中位线，
∴MN=1/2 DE=1/2×2=1。
6. 如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连接BH，G，F分别为BH，CH的中点。
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）若DG⊥BH，BD = 8，EF = 5，求线段BH的长。
（1）求证：四边形DEFG为平行四边形；
（2）若DG⊥BH，BD = 8，EF = 5，求线段BH的长。
答案
（1）证明：
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=1/2BC。
∵G，F分别为BH，CH的中点，
∴GF是△BCH的中位线，
∴GF//BC，GF=1/2BC。
∴DE//GF，DE=GF，
∴四边形DEFG为平行四边形。
（2）解：
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴EF=DG=5。
∵G为BH中点，DG⊥BH，
∴DG垂直平分BH，
∴DB=DH=8。在Rt△DGB中，BD=8，DG=5，由勾股定理得BG=√(BD²-DG²)=√(8²-5²)=√39，
∴BH=2BG=2√39。
答案：（1）见证明过程；（2）2√39。
∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=1/2BC。
∵G，F分别为BH，CH的中点，
∴GF是△BCH的中位线，
∴GF//BC，GF=1/2BC。
∴DE//GF，DE=GF，
∴四边形DEFG为平行四边形。
（2）解：
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴EF=DG=5。
∵G为BH中点，DG⊥BH，
∴DG垂直平分BH，
∴DB=DH=8。在Rt△DGB中，BD=8，DG=5，由勾股定理得BG=√(BD²-DG²)=√(8²-5²)=√39，
∴BH=2BG=2√39。
答案：（1）见证明过程；（2）2√39。
解析
（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//BC，DE=1/2BC。∵G，F分别为BH，CH的中点，∴GF是△BCH的中位线，∴GF//BC，GF=1/2BC。∴DE//GF，DE=GF，∴四边形DEFG为平行四边形。
（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴EF=DG=5。∵G为BH中点，DG⊥BH，∴DG垂直平分BH，∴DB=DH=8。在Rt△DGB中，BD=8，DG=5，由勾股定理得BG=√(BD²-DG²)=√(8²-5²)=√39，∴BH=2BG=2√39。
（2）解：∵四边形DEFG为平行四边形，∴EF=DG=5。∵G为BH中点，DG⊥BH，∴DG垂直平分BH，∴DB=DH=8。在Rt△DGB中，BD=8，DG=5，由勾股定理得BG=√(BD²-DG²)=√(8²-5²)=√39，∴BH=2BG=2√39。
