12. 【数学应用】小亮是一名集邮爱好者，他准备自己设计平行四边形“邮票”在春节时送给妈妈。如图所示的是其设计的示意图，若 $CD$ 的长为 $6\mathrm{cm}$，$AD$ 的长为 $4\mathrm{cm}$，$∠ B = 60^{\circ}$，则这枚“邮票”的面积为$\mathrm{cm}^2$。

已知平行四边形 $ABCD$ 中，$CD = 6\mathrm{cm}$，$AD = 4\mathrm{cm}$，$∠ B = 60^{\circ}$。
根据平行四边形的性质，$AD = BC = 4\mathrm{cm}$，$AB = CD = 6\mathrm{cm}$，$∠ B = ∠ D = 60^{\circ}$。
过点 $A$ 作 $AE ⊥ BC$ 于点 $E$，则 $AE$ 为平行四边形 $ABCD$ 的高。
在直角三角形 $ABE$ 中，$∠ B = 60^{\circ}$，$AB = 6\mathrm{cm}$。
利用三角函数，$\sin 60^{\circ} = \frac{AE}{AB}$，
$AE = AB × \sin 60^{\circ} = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \mathrm{cm}$
平行四边形 $ABCD$ 的面积 $S = BC × AE = 4 × 3\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \mathrm{cm}^2$。
故答案为：$12\sqrt{3}$。

13. 如图，在 $□ ABCD$ 中，延长 $AB$ 至点 $E$，延长 $CD$ 至点 $F$，使得 $BE = DF$。连接 $EF$，与对角线 $AC$ 交于点 $O$。求证：$OE = OF$。

证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$。
∵$BE=DF$，
∴$AB+BE=CD+DF$，即$AE=CF$。
∵$AB// CD$，
∴$AE// CF$，
∴$∠ E=∠ F$，$∠ OAE=∠ OCF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l} ∠ E=∠ F,\\ AE=CF,\\ ∠ OAE=∠ OCF,\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF(ASA)$。
∴$OE=OF$。

14. 【综合与实践】如图，在 $□ ABCD$ 中，点 $E$，$F$ 在对角线 $AC$ 上，且 $AE = CF$。请以点 $F$ 为一个端点和图中已标有字母的某一点连成一条线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等。

连接 BF，猜想 BF = DE。
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD // BC，AD = BC，
∴ ∠DAE = ∠BCF。
∵ AE = CF，
∴ △ADE ≌ △CBF（SAS），
∴ BF = DE。
或连接 DF，猜想 DF = BE。
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB // CD，AB = CD，
∴ ∠BAE = ∠DCF。
∵ AE = CF，
∴ △ABE ≌ △CDF（SAS），
∴ DF = BE。
（任选一种情况即可）
结论：BF = DE（或 DF = BE）。