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1. 平行四边形的对角线。
答案
互相平分
2. 一组对边，另一组对边的四边形叫作梯形。平行的两边称为梯形的，较短的底通常称为，较长的底通常称为。不平行的两边称为梯形的，两腰相等的梯形称为。
答案
平行；不平行；底；上底；下底；腰；等腰梯形
3. 等腰梯形是图形，等腰梯形在同一底上的两个角。
答案
1. 互相平分
2. 平行；不平行；底；上底；下底；腰；等腰梯形
3. 轴对称；相等
2. 平行；不平行；底；上底；下底；腰；等腰梯形
3. 轴对称；相等
1. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$与$BD$相交于点$O$，则下列结论不一定成立的是()。
A.$BO = DO$
B.$CD = AB$
C.$∠ BAD = ∠ BCD$
D.$AC = BD$
A.$BO = DO$
B.$CD = AB$
C.$∠ BAD = ∠ BCD$
D.$AC = BD$
答案
D
解析
在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O。
根据平行四边形的性质：
A. 平行四边形的对角线互相平分，因此$BO = DO$，成立。
B. 平行四边形的对边相等，因此$CD = AB$，成立。
C. 平行四边形的对角相等，因此$∠BAD = ∠BCD$，成立。
D. 平行四边形的对角线不一定相等，因此$AC = BD$不一定成立。
因此，选项D不一定成立。
根据平行四边形的性质：
A. 平行四边形的对角线互相平分，因此$BO = DO$，成立。
B. 平行四边形的对边相等，因此$CD = AB$，成立。
C. 平行四边形的对角相等，因此$∠BAD = ∠BCD$，成立。
D. 平行四边形的对角线不一定相等，因此$AC = BD$不一定成立。
因此，选项D不一定成立。
2. 若平行四边形的两条对角线长分别为$10$和$16$，则它的一边长可以是()。
A.$15$
B.$12$
C.$13$
D.$14$
A.$15$
B.$12$
C.$13$
D.$14$
答案
B
解析
平行四边形的两条对角线长分别为$10$和$16$，根据平行四边形的性质，两条对角线互相平分。
设两条对角线的一半长度分别为$a$和$b$，则$a = \frac{10}{2} = 5$，$b = \frac{16}{2} = 8$。
在平行四边形中，一边与两条对角线的一半构成一个三角形，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以有：
$a + b ＞ \mathrm{边长}$，
$8+5＞ \mathrm{边长}$，
即边长$＜ 13$，
$b - a ＜ \mathrm{边长}$，
$8 - 5 ＜ \mathrm{边长}$，
即边长$＞ 3$，
综合以上两个不等式，得到边长的取值范围为：
$3 ＜ \mathrm{边长} ＜ 13$，
在选项中，只有$12$满足这个条件。
设两条对角线的一半长度分别为$a$和$b$，则$a = \frac{10}{2} = 5$，$b = \frac{16}{2} = 8$。
在平行四边形中，一边与两条对角线的一半构成一个三角形，根据三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，所以有：
$a + b ＞ \mathrm{边长}$，
$8+5＞ \mathrm{边长}$，
即边长$＜ 13$，
$b - a ＜ \mathrm{边长}$，
$8 - 5 ＜ \mathrm{边长}$，
即边长$＞ 3$，
综合以上两个不等式，得到边长的取值范围为：
$3 ＜ \mathrm{边长} ＜ 13$，
在选项中，只有$12$满足这个条件。
3. 【数学应用】如图，阳光透过长方形玻璃射到地面上，地面上出现一个明亮的$□ ABCD$光影，连接$AC$，$BD$交于点$O$，用三角尺测得$AC⊥ AB$。若$AB = 3$，$BC = 5$，则$△ AOB$的周长为。
答案
$5 + \sqrt{13}$
解析
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AD=BC=5，AB=CD=3。
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=5，
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2。
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，
根据勾股定理得：BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2}$（此处应为BD=$\sqrt{AB^2 + AC^2}$，属于笔误，正确应为：在Rt△ABD中，AB=3，AD=5，根据勾股定理得BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{3^2 + 5^2}=\sqrt{9 + 25}=\sqrt{34}$，但平行四边形中AC和BD不一定垂直，正确做法是在Rt△ABC中求出AC=4，再在平行四边形中，OA=2，OB可通过平行四边形对角线互相平分及勾股定理在Rt△ABO中求，因为AC⊥AB，所以△ABO是直角三角形，OA=2，AB=3，所以OB=$\sqrt{AB^2 + OA^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$）
（修正后）∵AC⊥AB，OA=2，AB=3，
∴在Rt△ABO中，OB=$\sqrt{AB^2 + OA^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}$。
∴△AOB的周长=AB + OA + OB=3 + 2 + $\sqrt{13}$=5 + $\sqrt{13}$。
∴OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，AD=BC=5，AB=CD=3。
∵AC⊥AB，
∴∠BAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=5，
根据勾股定理得：AC=$\sqrt{BC^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=2。
在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，
根据勾股定理得：BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2}$（此处应为BD=$\sqrt{AB^2 + AC^2}$，属于笔误，正确应为：在Rt△ABD中，AB=3，AD=5，根据勾股定理得BD=$\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{3^2 + 5^2}=\sqrt{9 + 25}=\sqrt{34}$，但平行四边形中AC和BD不一定垂直，正确做法是在Rt△ABC中求出AC=4，再在平行四边形中，OA=2，OB可通过平行四边形对角线互相平分及勾股定理在Rt△ABO中求，因为AC⊥AB，所以△ABO是直角三角形，OA=2，AB=3，所以OB=$\sqrt{AB^2 + OA^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{13}$）
（修正后）∵AC⊥AB，OA=2，AB=3，
∴在Rt△ABO中，OB=$\sqrt{AB^2 + OA^2}=\sqrt{3^2 + 2^2}=\sqrt{9 + 4}=\sqrt{13}$。
∴△AOB的周长=AB + OA + OB=3 + 2 + $\sqrt{13}$=5 + $\sqrt{13}$。
4. 已知在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$AD = 4$，$AB = CD = 6$，$∠ B = 60^{\circ}$，那么下底$BC$的长为。
答案
过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F。
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=4，AE=DF。
∵AB=CD=6，∠B=60°，
∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE=AB×cos60°=6×1/2=3。
同理，CF=CD×cos60°=3。
∴BC=BE+EF+FC=3+4+3=10。
10
∵AD//BC，AE⊥BC，DF⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，EF=AD=4，AE=DF。
∵AB=CD=6，∠B=60°，
∴在Rt△ABE中，∠BAE=30°，
∴BE=AB×cos60°=6×1/2=3。
同理，CF=CD×cos60°=3。
∴BC=BE+EF+FC=3+4+3=10。
10
5. 如图所示的是用若干个全等的等腰梯形拼成的平行四边形，下列说法错误的是()。
A.梯形的下底是上底的两倍
B.梯形最大的角是$120^{\circ}$
C.梯形的腰与上底相等
D.梯形的腰与底边所成的角是$60^{\circ}$
A.梯形的下底是上底的两倍
B.梯形最大的角是$120^{\circ}$
C.梯形的腰与上底相等
D.梯形的腰与底边所成的角是$60^{\circ}$
答案
C
解析
设等腰梯形的上底为$a$，下底为$b$，腰长为$c$，底角为$θ$。
选项A：由图形拼接可知，平行四边形的一边长等于梯形下底$b$，另一边长等于上底$a$与腰长$c$之和。因平行四边形对边相等，且通过几何关系可推得$b = 2a$，故A正确。
选项B：等腰梯形同一底上的两角互补，若底角$θ = 60°$，则另一底角为$180° - 60° = 120°$，即最大角为$120°$，故B正确。
选项C：假设腰与上底相等（$c = a$），结合$b = 2a$，通过作高构建直角三角形，可得腰长$c = a$时底角$θ = 60°$，但实际拼接中腰长与上底不一定相等，此结论不具有必然性，故C错误。
选项D：由上述底角计算可知，腰与底边所成角为$60°$，故D正确。
选项A：由图形拼接可知，平行四边形的一边长等于梯形下底$b$，另一边长等于上底$a$与腰长$c$之和。因平行四边形对边相等，且通过几何关系可推得$b = 2a$，故A正确。
选项B：等腰梯形同一底上的两角互补，若底角$θ = 60°$，则另一底角为$180° - 60° = 120°$，即最大角为$120°$，故B正确。
选项C：假设腰与上底相等（$c = a$），结合$b = 2a$，通过作高构建直角三角形，可得腰长$c = a$时底角$θ = 60°$，但实际拼接中腰长与上底不一定相等，此结论不具有必然性，故C错误。
选项D：由上述底角计算可知，腰与底边所成角为$60°$，故D正确。
