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8. 如图，点$E$为$□ ABCD$的对角线$AC$上一点，$AC=9$，$CE=2$，连接$DE$并延长至点$F$，使得$EF=DE$，连接$BF$，则$BF$的长为(
A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{13}{2}$
D.$7$
B
)A.$\frac{9}{2}$
B.$5$
C.$\frac{13}{2}$
D.$7$
答案
8. B
解析
【解析】
连接$BD$交$AC$于点$O$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AO = CO=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC = 9$，则$AO = CO=\frac{9}{2}$。
又因为$CE = 2$，所以$EO=CO - CE=\frac{9}{2}-2=\frac{9 - 4}{2}=\frac{5}{2}$。
因为$EF = DE$，$∠ DEF=∠ BEO$（对顶角相等），$DO = BO$（平行四边形对角线互相平分），所以$△ DEF≌△ BEO$（$SAS$）。
所以$BF = DF$。
又因为$DF = 2EO$（全等三角形对应边相等），所以$BF = 2×\frac{5}{2}=5$。
【答案】
$B$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过连接平行四边形对角线，利用平行四边形性质和全等三角形知识求解，考查对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.4$
连接$BD$交$AC$于点$O$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AO = CO=\frac{1}{2}AC$。
已知$AC = 9$，则$AO = CO=\frac{9}{2}$。
又因为$CE = 2$，所以$EO=CO - CE=\frac{9}{2}-2=\frac{9 - 4}{2}=\frac{5}{2}$。
因为$EF = DE$，$∠ DEF=∠ BEO$（对顶角相等），$DO = BO$（平行四边形对角线互相平分），所以$△ DEF≌△ BEO$（$SAS$）。
所以$BF = DF$。
又因为$DF = 2EO$（全等三角形对应边相等），所以$BF = 2×\frac{5}{2}=5$。
【答案】
$B$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题通过连接平行四边形对角线，利用平行四边形性质和全等三角形知识求解，考查对相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.4$
9. 如图，在边长为$4$的等边三角形$ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$BC$的中点，$EF⊥ AC$于点$F$，$G$为$EF$的中点，连接$DG$.
（1）求$EF$的长.
（2）求$DG$的长.
（1）求$EF$的长.
（2）求$DG$的长.
答案
9. 解：(1) 连接 DE，
∵ 在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE = 2，且 DE // AC，BD = BE = EC = 2.
∵EF ⊥ AC 于点 F，∠C = 60°，
∴∠FEC = 30°，
∠DEF = ∠EFC = 90°，
∴FC = $\frac{1}{2}$EC = 1，故 EF = $\sqrt{2^{2} - 1^{2}}$ = $\sqrt{3}$.
(2)
∵G 为 EF 的中点，
∴EG = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DG = $\sqrt{DE^{2} + EG^{2}}$ = $\sqrt{2^{2} + (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}$ = $\frac{\sqrt{19}}{2}$.
解析
【解析】
(1) 连接$DE$，
因为在边长为$4$的等边三角形$ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$BC$的中点，
所以$DE$是$△ ABC$的中位线，
所以$DE = 2$，且$DE// AC$，$BD = BE = EC = 2$。
因为$EF⊥ AC$于点$F$，$∠ C = 60°$，
所以$∠ FEC = 30°$，
$∠ DEF = ∠ EFC = 90°$，
所以$FC=\frac{1}{2}EC = 1$，故$EF=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
(2)
因为$G$为$EF$的中点，
所以$EG=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$DG=\sqrt{DE^{2}+EG^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$。
【答案】
(1)$EF=\sqrt{3}$；(2)$DG = \frac{\sqrt{19}}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题通过连接中位线$DE$，利用等边三角形性质、勾股定理等知识求解$EF$和$DG$的长度，考查了学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 连接$DE$，
因为在边长为$4$的等边三角形$ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$BC$的中点，
所以$DE$是$△ ABC$的中位线，
所以$DE = 2$，且$DE// AC$，$BD = BE = EC = 2$。
因为$EF⊥ AC$于点$F$，$∠ C = 60°$，
所以$∠ FEC = 30°$，
$∠ DEF = ∠ EFC = 90°$，
所以$FC=\frac{1}{2}EC = 1$，故$EF=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
(2)
因为$G$为$EF$的中点，
所以$EG=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以$DG=\sqrt{DE^{2}+EG^{2}}=\sqrt{2^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\frac{\sqrt{19}}{2}$。
【答案】
(1)$EF=\sqrt{3}$；(2)$DG = \frac{\sqrt{19}}{2}$
【知识点】
等边三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题通过连接中位线$DE$，利用等边三角形性质、勾股定理等知识求解$EF$和$DG$的长度，考查了学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
10. (2024·广安)如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，若$∠ A=45°$，$∠ CED=70°$，则$∠ C$的度数为(
A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
D
)A.$45°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$65°$
答案
10. D
解析
【解析】
因为点$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，所以$DE// AB$。
根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ CDE=∠ A = 45°$。
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，则$∠ C = 180°-∠ CDE-∠ CED$。
已知$∠ CED = 70°$，$∠ CDE = 45°$，所以$∠ C=180°-45°-70°=65°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，通过中位线得到平行关系是解题关键。
【难度系数】
0.5
因为点$D$，$E$分别是$AC$，$BC$的中点，所以$DE// AB$。
根据两直线平行，同位角相等，可得$∠ CDE=∠ A = 45°$。
在$△ CDE$中，根据三角形内角和为$180°$，则$∠ C = 180°-∠ CDE-∠ CED$。
已知$∠ CED = 70°$，$∠ CDE = 45°$，所以$∠ C=180°-45°-70°=65°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、平行线的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理、平行线的性质以及三角形内角和定理的综合运用，通过中位线得到平行关系是解题关键。
【难度系数】
0.5
11. (2025·资阳)三角形的周长为$48\ \mathrm{cm}$，则它的三条中位线组成的三角形的周长是(
A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$28\ \mathrm{cm}$
D.$30\ \mathrm{cm}$
B
)A.$12\ \mathrm{cm}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$28\ \mathrm{cm}$
D.$30\ \mathrm{cm}$
答案
11. B
解析
【解析】
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
设原三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，则其周长$a + b + c = 48\mathrm{cm}$。
新三角形三边分别为原三角形三边中位线，长度分别为$\frac{1}{2}a$、$\frac{1}{2}b$、$\frac{1}{2}c$。
新三角形周长为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}(a + b + c)=\frac{1}{2}×48 = 24\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理、三角形周长
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，关键是理解中位线与原三角形边的关系。
【难度系数】
0.6
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
设原三角形三边分别为$a$、$b$、$c$，则其周长$a + b + c = 48\mathrm{cm}$。
新三角形三边分别为原三角形三边中位线，长度分别为$\frac{1}{2}a$、$\frac{1}{2}b$、$\frac{1}{2}c$。
新三角形周长为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=\frac{1}{2}(a + b + c)=\frac{1}{2}×48 = 24\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理、三角形周长
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，关键是理解中位线与原三角形边的关系。
【难度系数】
0.6
