2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=10$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$，点$F$在$BC$上，且$BF=4$，连接$AF$，点$E$为$AF$的中点，连接$DE$，则$DE$的长为()

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

2. B

【解析】
因为$AB = BC$，$BD$平分$∠ ABC$，根据等腰三角形三线合一的性质可知$D$是$AC$中点。
又因为点$E$为$AF$的中点，所以$DE$是$△ AFC$的中位线。
$FC=BC - BF = 10 - 4 = 6$，根据中位线定理$DE=\frac{1}{2}FC$，所以$DE=\frac{1}{2}×6 = 3$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形性质、中位线定理
【点评】
本题考查等腰三角形性质与中位线定理的综合运用，关键在于利用等腰三角形三线合一确定中点，再结合中位线定理求解。
【难度系数】
0.6

3. 如图，$DE$为$△ ABC$的中位线，$∠ ABC$的平分线交$DE$于点$F$，若$EF=2$，$BC=10$，则$AB$的长为()

A.$5$
B.$6$
C.$8$
D.$9$

3. B

【解析】
因为$DE$为$△ ABC$的中位线，所以$DE// BC$，$DE=\frac{1}{2}BC$。
已知$BC = 10$，则$DE=\frac{1}{2}×10 = 5$。
因为$EF = 2$，所以$DF=DE - EF=5 - 2 = 3$。
由于$DE// BC$，所以$∠ DFB=∠ FBC$。
又因为$BF$平分$∠ ABC$，所以$∠ DBF=∠ FBC$。
那么$∠ DBF=∠ DFB$，所以$BD = DF = 3$。
因为$D$是$AB$中点，所以$AB = 2BD = 2×3 = 6$。
【答案】
$B$
【知识点】
三角形中位线定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题通过三角形中位线定理得到线段平行和长度关系，再利用角平分线性质和等腰三角形判定求出相关线段长度，进而求出$AB$的长，考查了对多个知识点的综合运用。
【难度系数】
$0.5$

4. 如图，已知$△ ABC$中，点$M$是$BC$边上的中点，$AN$平分$∠ BAC$，$BN⊥ AN$于点$N$，若$AB=7$，$MN=3$，则$AC$的长为()

A.$14$
B.$13$
C.$12$
D.$11$

4. B

【解析】
延长$BN$交$AC$于点$D$。
因为$AN$平分$∠ BAC$，$BN⊥ AN$，所以$△ ABN≌△ ADN$（$ASA$），则$AB = AD = 7$，$BN = ND$。
又因为点$M$是$BC$边上的中点，所以$MN$是$△ BCD$的中位线，所以$CD = 2MN = 6$。
则$AC = AD + CD = 7 + 6 = 13$。
【答案】
$13$
【知识点】
三角形全等、中位线定理、线段长度计算
【点评】
本题通过构造全等三角形和利用中位线定理求解线段长度，考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$

5. 如图，在四边形$ABCD$中，$P$是对角线$AC$的中点，$E$，$F$分别为$AD$，$BC$的中点，$AB=DC$，$∠ PEF=18°$，则$∠ EPF$的度数为.

5. 144°

【解析】
因为$P$是$AC$的中点，$E$是$AD$的中点，所以$EP=\frac{1}{2}DC$。
因为$P$是$AC$的中点，$F$是$BC$的中点，所以$FP=\frac{1}{2}AB$。
又因为$AB = DC$，所以$EP = FP$。
所以$∠ PFE=∠ PEF = 18°$。
根据三角形内角和为$180°$，可得$∠ EPF=180°-∠ PEF - ∠ PFE=180°-18°-18°=144°$。
【答案】
$144°$
【知识点】
三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题通过三角形中位线定理得到线段关系，再利用等腰三角形性质和三角形内角和定理求解角度，考查知识综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$

6. 如图，$△ ABC$的中线$AF$与中位线$DE$相交于点$O$. 若$BC=8$，则$OD=$.

6. 2

【解析】
因为$DE$是$△ ABC$的中位线，$AF$是$△ ABC$的中线，
所以$DE// BC$，$DE = \frac{1}{2}BC$（三角形中位线定理）。
已知$BC = 8$，则$DE=\frac{1}{2}×8 = 4$。
又因为$DE// BC$，$D$是$AB$中点，所以$O$是$AF$中点（平行线分线段成比例定理），
那么$OD=\frac{1}{2}DE$，所以$OD=\frac{1}{2}×4 = 2$。
【答案】
$2$
【知识点】
三角形中位线定理、平行线分线段成比例定理
【点评】
本题主要考查三角形中位线定理和平行线分线段成比例定理的应用，通过中位线与中线的关系逐步推导得出结果。
【难度系数】
$0.6$

7. 如图，在$△ ABC$中，中线$BE$，$CD$交于点$O$，$F$，$G$分别是$OB$，$OC$的中点. 连接$DF$，$FG$，$EG$，$DE$. 求证：$DF=EG$.

7. 证明：
∵BE，CD 都是△ABC 的中线，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE // BC，DE = $\frac{1}{2}$BC.
∵F，G 分别是 OB，OC 的中点，
∴FG // BC，FG = $\frac{1}{2}$BC，
∴DE // FG 且 DE = FG，
∴ 四边形 DEGF 是平行四边形，
∴DF = EG.

【解析】
∵BE，CD 都是△ABC 的中线，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE // BC，DE = $\frac{1}{2}$BC。
∵F，G 分别是 OB，OC 的中点，
∴FG // BC，FG = $\frac{1}{2}$BC，
∴DE // FG 且 DE = FG，
∴ 四边形 DEGF 是平行四边形，
∴DF = EG。
【答案】
DF = EG
【知识点】
三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质
【点评】
本题通过三角形中位线定理得出线段平行且相等的关系，进而证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形性质得出结论，考查知识综合运用。
【难度系数】
0.6