【例】如图 21.2-15，在$△ ABC$中，$AE$平分$∠ BAC$，$BE⊥ AE$于点$E$，点$F$是$BC$的中点.

（1）如图 1，$BE$的延长线与$AC$边相交于点$D$，求证：$EF=\frac{1}{2}(AC-AB)$.
（2）如图 2，写出线段$AB$，$AC$，$EF$的数量关系，并证明你的结论.
【点拨】（1）先证明$AB=AD$，根据等腰三角形的三线合一，推出$BE=ED$，根据三角形的中位线定理即可解决问题.（2）根据等腰三角形的三线合一及三角形的中位线定理即可解决问题.

[例]证明：(1) 如图 1，
∵AE ⊥ BE，
∴∠AED = ∠AEB = 90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，∠DAE + ∠ADE = 90°.
∵∠BAE = ∠DAE，
∴∠ABE = ∠ADE，
∴AB = AD.
∵AE ⊥ BE，
∴BE = DE.
∵BF = FC，
∴EF = $\frac{1}{2}$DC = $\frac{1}{2}$(AC - AD) = $\frac{1}{2}$(AC - AB).
　　　
(2) 结论：EF = $\frac{1}{2}$(AB - AC).
理由如下：如图 2，延长 AC 交 BE 的延长线于点 P.
∵AE ⊥ BP，
∴∠AEP = ∠AEB = 90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，
∠PAE + ∠APE = 90°.
∵∠BAE = ∠PAE，
∴∠ABE = ∠APE，
∴AB = AP.
∵AE ⊥ BP，
∴BE = PE.
∵BF = FC，
∴EF = $\frac{1}{2}$PC = $\frac{1}{2}$(AP - AC) = $\frac{1}{2}$(AB - AC).
　　　　　　　　　　　　　

【解析】
（1）
∵AE ⊥ BE，
∴∠AED = ∠AEB = 90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，∠DAE + ∠ADE = 90°。
∵∠BAE = ∠DAE，
∴∠ABE = ∠ADE，
∴AB = AD。
∵AE ⊥ BE，
∴BE = DE。
∵BF = FC，
∴EF = $\frac{1}{2}$DC = $\frac{1}{2}$(AC - AD) = $\frac{1}{2}$(AC - AB)。
（2）
结论：EF = $\frac{1}{2}$(AB - AC)。
理由如下：
如图 2，延长 AC 交 BE 的延长线于点 P。
∵AE ⊥ BP，
∴∠AEP = ∠AEB = 90°，
∴∠BAE + ∠ABE = 90°，∠PAE + ∠APE = 90°。
∵∠BAE = ∠PAE，
∴∠ABE = ∠APE，
∴AB = AP。
∵AE ⊥ BP，
∴BE = PE。
∵BF = FC，
∴EF = $\frac{1}{2}$PC = $\frac{1}{2}$(AP - AC) = $\frac{1}{2}$(AB - AC)。
【答案】
（1）EF = $\frac{1}{2}$(AC - AB)；（2）EF = $\frac{1}{2}$(AB - AC)
【知识点】
等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理
【点评】
本题通过利用等腰三角形的判定与性质以及三角形中位线定理来求解线段关系，考查了学生对几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.4

1. 如图，为测量位于一水塘旁的两点$A$，$B$间的距离，在地面上确定点$O$，分别取$OA$，$OB$的中点$C$，$D$，量得$CD=12\ \mathrm{m}$，则$A$，$B$之间的距离是()

A.$48\ \mathrm{m}$
B.$24\ \mathrm{m}$
C.$12\ \mathrm{m}$
D.$6\ \mathrm{m}$

1. B

【解析】
因为$C$是$OA$的中点，$D$是$OB$的中点，所以$CD$是$△ OAB$的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
已知$CD = 12m$，所以$AB = 2CD = 2×12 = 24(m)$。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题考查三角形中位线定理的应用，通过中位线与第三边的关系求解两点间距离。
【难度系数】
0.6