【例2】如图，已知直线$l_{1}// l_{2}$，点$C_{1}$在直线$l_{1}$上，并且$C_{1}A⊥ l_{2}$，$A$为垂足，$C_{2}$，$C_{3}$是直线$l_{1}$上任意两点，点$B$在直线$l_{2}$上. 设$△ ABC_{1}$的面积为$S_{1}$，$△ ABC_{2}$的面积为$S_{2}$，$△ ABC_{3}$的面积为$S_{3}$，小颖认为$S_{1}=S_{2}=S_{3}$，请帮小颖说明理由.

解：
【规律方法】

与多条平行线有关的问题一般涉及两类：
(1) 距离问题：常作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理进行求解；
(2) 面积问题：常利用平行线之间的距离处处相等，通过证明不同图形的高线相等来实现面积之间的转化，从而求解相关问题.

解:因为直线l₁//l₂,
所以△ABC₁,△ABC₂,△ABC₃的底边AB上的高相等，
所以△ABC₁,△ABC₂,△ABC₃这三个三角形同底等高，
所以△ABC₁,△ABC₂,△ABC₃的面积相等,即S₁=S₂=S₃.

【解析】
因为直线$l_{1}// l_{2}$，所以$△ ABC_{1}$、$△ ABC_{2}$、$△ ABC_{3}$的底边$AB$上的高相等，这三个三角形同底等高，根据三角形面积公式，同底等高的三角形面积相等，因此$S_{1}=S_{2}=S_{3}$。
【答案】
$S_{1}=S_{2}=S_{3}$
【知识点】
平行线间距离处处相等、同底等高三角形面积相等
【点评】
本题考查平行线间距离的性质及三角形面积公式的应用，通过平行线间距离处处相等推导出三个三角形同底等高，进而判断面积相等，属于基础几何面积问题。
【难度系数】
0.8

3. 如图(示意图)，在$△ ABC$中，$∠ ABC = 90°$，$AB = BC$，三角形的顶点在相互平行的三条直线$l_{1}$，$l_{2}$，$l_{3}$上，且直线$l_{1}$，$l_{2}$之间的距离为$2$，直线$l_{2}$，$l_{3}$之间的距离为$3$，则$AC$的长是多少?

3.解:AC=2√{17}

【解析】
过点A作AE⊥l₃于点E，过点C作CF⊥l₃于点F，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
又∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF。
在△ABE和△BCF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠BFC=90°\\∠BAE=∠CBF\\AB=BC\end{array} $
∴△ABE≌△BCF（AAS）。
由题意得AE=3，CF=2+3=5，
∴BF=AE=3，BE=CF=5。
在Rt△ABE中，$AB^2=AE^2+BE^2=3^2+5^2=34$。
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴$AC^2=AB^2+BC^2=2AB^2=2×34=68$，
∴$AC=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$。
【答案】
$2\sqrt{17}$
【知识点】
全等三角形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题通过构造垂线实现线段长度的转化，利用全等三角形的性质得到对应边相等，再结合勾股定理完成计算，考查了几何图形中线段与角度的转化及计算能力。
【难度系数】
0.4

1. 如图，$□ ABCD$的对角线相交于点$O$，$BC = 7\mathrm{cm}$，$BD = 10\mathrm{cm}$，$AC = 6\mathrm{cm}$，则$△ AOD$的周长为()


A.$14\mathrm{cm}$
B.$15\mathrm{cm}$
C.$16\mathrm{cm}$
D.$17\mathrm{cm}$

1.B

【解析】
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD=BC=7\mathrm{cm}$，$OA=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3\mathrm{cm}$，$OD=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×10=5\mathrm{cm}$，
∴$△ AOD$的周长为$OA+OD+AD=3+5+7=15\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题考查平行四边形的基本性质，需利用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质求出三角形各边长度，进而计算周长，属于基础题型，熟练掌握平行四边形的核心性质是解题关键。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在$□ ABCD$中，$AB = 4$，$BD = 10$，$AC⊥ AB$，则$□ ABCD$的面积是()


A.$12$
B.$20$
C.$24$
D.$40$

2.C

【解析】
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BO=\frac{1}{2}BD=5$，$AC=2AO$。
在$Rt△ ABO$中，$∠ BAC=90°$，$AB=4$，$BO=5$，由勾股定理得：
$AO=\sqrt{BO^2-AB^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，则$AC=2AO=6$。
因为$AC⊥ AB$，所以$□ ABCD$的面积为$AB× AC=4×6=24$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查平行四边形性质与勾股定理的综合应用，关键是利用平行四边形对角线互相平分的性质结合勾股定理求出AC的长度，进而计算平行四边形的面积。
【难度系数】
0.6

3. 平行四边形的两条对角线长分别为$6$和$10$，则其中一条边长$m$的取值范围为()

A.$0 ＜ m ＜ 10$
B.$0 ＜ m ＜ 6$
C.$4 ＜ m ＜ 6$
D.$2 ＜ m ＜ 8$

3.D

【解析】
根据平行四边形的对角线互相平分，可知两条对角线的一半分别为$6÷2=3$和$10÷2=5$。
平行四边形的一条边长$m$与这两条半对角线可构成三角形，根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，可得：
$5-3 ＜ m ＜ 5+3$，即$2 ＜ m ＜ 8$。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角线性质、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与三角形三边关系，解题关键是将平行四边形边长问题转化为三角形三边问题进行求解。
【难度系数】
0.7