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4. 如图，在$□ ABCD$中，$O$是对角线$AC$，$BD$的交点，过点$O$的直线分别交$AD$，$BC$于点$M$，$N$，若$△ AOM$的面积为$3$，$△ BON$的面积为$8$，则$△ COD$的面积是(
A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$
C
)A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$
答案
4.C
解析
【解析】
在平行四边形$ABCD$中，$O$是对角线$AC$、$BD$的交点，故$OA=OC$，$AD// BC$，$BO=OD$。
因为$AD// BC$，所以$∠ OAM=∠ OCN$，$∠ OMA=∠ ONC$，结合$OA=OC$，可证$△ AOM≌△ CON$（AAS），因此$S_{△ CON}=S_{△ AOM}=3$。
已知$S_{△ BON}=8$，则$S_{△ BOC}=S_{△ BON}+S_{△ CON}=8+3=11$。
又因为$BO=OD$，$△ COD$和$△ BOC$等底同高，所以$S_{△ COD}=S_{△ BOC}=11$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的应用，利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，结合全等三角形的面积相等，将所求三角形面积转化为已知面积的和是解题关键。
【难度系数】
0.6
在平行四边形$ABCD$中，$O$是对角线$AC$、$BD$的交点，故$OA=OC$，$AD// BC$，$BO=OD$。
因为$AD// BC$，所以$∠ OAM=∠ OCN$，$∠ OMA=∠ ONC$，结合$OA=OC$，可证$△ AOM≌△ CON$（AAS），因此$S_{△ CON}=S_{△ AOM}=3$。
已知$S_{△ BON}=8$，则$S_{△ BOC}=S_{△ BON}+S_{△ CON}=8+3=11$。
又因为$BO=OD$，$△ COD$和$△ BOC$等底同高，所以$S_{△ COD}=S_{△ BOC}=11$。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的应用，利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质，结合全等三角形的面积相等，将所求三角形面积转化为已知面积的和是解题关键。
【难度系数】
0.6
5. 如图，直线$a// b$，点$A$，$B$位于直线$a$上，点$C$，$D$位于直线$b$上，且$AB:CD = 1:2$，如果$△ ABC$的面积为$10$，那么$△ BCD$的面积为
20
.答案
5.20
解析
【解析】
因为直线$a// b$，所以$△ ABC$与$△ BCD$的高相等（两条平行线间的距离处处相等）。
设$AB = x$，则$CD = 2x$，高为$h$。
由$△ ABC$的面积为$10$，得$\frac{1}{2} · AB · h = 10$，即$\frac{1}{2}xh = 10$。
则$△ BCD$的面积为$\frac{1}{2} · CD · h = \frac{1}{2} · 2x · h = 2 × (\frac{1}{2}xh) = 2 × 10 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
平行线间的距离，三角形面积公式
【点评】
本题主要考查平行线间距离的性质及三角形面积公式的应用，利用等高三角形的面积比等于底边长的比是解题关键。
【难度系数】
0.7
因为直线$a// b$，所以$△ ABC$与$△ BCD$的高相等（两条平行线间的距离处处相等）。
设$AB = x$，则$CD = 2x$，高为$h$。
由$△ ABC$的面积为$10$，得$\frac{1}{2} · AB · h = 10$，即$\frac{1}{2}xh = 10$。
则$△ BCD$的面积为$\frac{1}{2} · CD · h = \frac{1}{2} · 2x · h = 2 × (\frac{1}{2}xh) = 2 × 10 = 20$。
【答案】
20
【知识点】
平行线间的距离，三角形面积公式
【点评】
本题主要考查平行线间距离的性质及三角形面积公式的应用，利用等高三角形的面积比等于底边长的比是解题关键。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在$BC$，$AD$上，$AC$与$EF$相交于点$O$，且$AO = CO$. 求证：$OF = OE$.
答案
6.证明:因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC,
所以∠OAF=∠OCE.
又因为OC=OA,∠AOF=∠COE,
所以△AOF≌△COE(ASA),
所以OF=OE.
所以∠OAF=∠OCE.
又因为OC=OA,∠AOF=∠COE,
所以△AOF≌△COE(ASA),
所以OF=OE.
解析
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠OAF=∠OCE$。
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE\\AO=CO\\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴$△ AOF≌△ COE$（ASA），
∴$OF=OE$。
【答案】
$OF=OE$得证
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质的综合应用，通过平行四边形对边平行得到角相等，结合已知条件证明三角形全等，进而推导出线段相等，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.7
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠OAF=∠OCE$。
在$△ AOF$和$△ COE$中，
$\{\begin{array}{l}∠OAF=∠OCE\\AO=CO\\∠AOF=∠COE\end{array} $
∴$△ AOF≌△ COE$（ASA），
∴$OF=OE$。
【答案】
$OF=OE$得证
【知识点】
平行四边形性质、全等三角形判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质的综合应用，通过平行四边形对边平行得到角相等，结合已知条件证明三角形全等，进而推导出线段相等，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$的直线$EF$分别交$AD$，$CB$的延长线于点$E$，$F$. 求证：$OE = OF$.
答案
7.证明:因为四边形ABCD是平行四边形，所以AO=CO,AD//BC,
所以∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中，
{∠EAO=∠FCO,
AO=CO,
∠AOE=∠COF,
所以△AOE≌△COF(ASA),
所以OE=OF.
所以∠EAO=∠FCO.
在△AOE和△COF中，
{∠EAO=∠FCO,
AO=CO,
∠AOE=∠COF,
所以△AOE≌△COF(ASA),
所以OE=OF.
解析
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=CO$，$AD// BC$，
∴$∠EAO=∠FCO$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO\\AO=CO\\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
【答案】
$OE=OF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与全等三角形判定及性质的综合运用，解题的关键是借助平行四边形的性质挖掘全等三角形的判定条件，从而推导线段相等。
【难度系数】
0.7
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AO=CO$，$AD// BC$，
∴$∠EAO=∠FCO$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO=∠FCO\\AO=CO\\∠AOE=∠COF\end{array} $
∴$△ AOE≌△ COF$（ASA），
∴$OE=OF$。
【答案】
$OE=OF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与全等三角形判定及性质的综合运用，解题的关键是借助平行四边形的性质挖掘全等三角形的判定条件，从而推导线段相等。
【难度系数】
0.7
8. 如图，四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$∠ BAC = 90°$，$AH⊥ BD$于点$H$，$AB = 2$，$BC = 2\sqrt{3}$，求$AH$的长.
答案
8.解:AH=2√{3}/3.
解析
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=2$，$BC=2\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，对角线互相平分，所以$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
3. 在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$。
4. 由$AH⊥ BD$，根据三角形面积的两种计算方法：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB· AO=\frac{1}{2}BO· AH$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}× AH$，
解得$AH=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{AH=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，等积法求高
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、勾股定理及等积法的应用，需先利用勾股定理计算相关线段长度，再通过等积法建立等式求解高，锻炼几何计算与定理综合运用能力。
【难度系数】
0.6
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=2$，$BC=2\sqrt{3}$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{12-4}=2\sqrt{2}$。
2. 因为四边形$ABCD$是平行四边形，对角线互相平分，所以$AO=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$。
3. 在$Rt△ ABO$中，由勾股定理得：
$BO=\sqrt{AB^2+AO^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$。
4. 由$AH⊥ BD$，根据三角形面积的两种计算方法：
$S_{△ ABO}=\frac{1}{2}AB· AO=\frac{1}{2}BO· AH$，
代入数据得：$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}=\frac{1}{2}×\sqrt{6}× AH$，
解得$AH=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{AH=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理，等积法求高
【点评】
本题综合考查平行四边形性质、勾股定理及等积法的应用，需先利用勾股定理计算相关线段长度，再通过等积法建立等式求解高，锻炼几何计算与定理综合运用能力。
【难度系数】
0.6
