(条件变式)把例1中的条件“$M$是$AO$的中点，$N$是$CO$的中点”改为“$M$，$N$为对角线$AC$上两点，且$AM = CN$”，证明：$BM// DN$，$BM = DN$.
【规律方法】
(1) 平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形，通过对角线，可将四边形转化为三角形，从而可将四边形问题转化为三角形问题来解决.
(2) 利用平行四边形对角线互相平分的性质，可以证明线段相等或线段之间的倍分关系.

证明:因为四边形ABCD是平行四边形，所以OB=OD,OA=OC.
因为AM=CN,
所以OA - AM=OC - CN,即OM=ON.又因为∠BOM=∠DON,
所以△BOM≌△DON(SAS),
所以BM=DN,∠OBM=∠ODN,
所以BM//DN.

【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC．
∵AM=CN，
∴OA - AM=OC - CN，即OM=ON．
又
∵∠BOM=∠DON，
∴△BOM≌△DON（SAS），
∴BM=DN，∠OBM=∠ODN，
∴BM//DN．
【答案】
BM//DN且BM=DN，证明过程见解析。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题借助平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知条件推导出线段相等，再通过SAS判定三角形全等，进而证得线段相等与平行关系，体现了将四边形问题转化为三角形问题的解题思路，考查了对平行四边形和全等三角形知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

1. 如图，在$□ ABCD$中，$AC$，$BD$相交于点$O$，$AB = 4$，$AC = 6$，$BD = 10$.
(1) 求$∠ ACD$的度数.
(2) 求$BC$的长.

1.解:(1)∠ACD=90°. (2)BC=2√{13}

【解析】
(1) 因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AB=CD=4$，$OC=\frac{1}{2}AC=3$，$OD=\frac{1}{2}BD=5$。
在$△ OCD$中，$OC^2 + CD^2 = 3^2 + 4^2 = 25$，$OD^2 = 5^2 = 25$，即$OC^2 + CD^2 = OD^2$，所以$△ OCD$是直角三角形，$∠ OCD = 90°$，即$∠ ACD = 90°$。
(2) 在$Rt△ ACD$中，$AC=6$，$CD=4$，$∠ ACD=90°$，由勾股定理得：
$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$BC=AD=2\sqrt{13}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠ACD=90°}$；(2) $\boldsymbol{BC=2\sqrt{13}}$
【知识点】
平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的性质与勾股定理（及逆定理）的应用，需熟练掌握平行四边形对角线互相平分、对边相等的性质，以及利用勾股定理（逆定理）判定直角三角形、计算线段长度，是平行四边形与直角三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6

2. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，过点$O$作任意直线分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$.
(1) 求证：$△ BEO≌△ DFO$.
(2) 若$CD = 10$，$AD = 8$，$OE = 3$，求四边形$BEFC$的周长.

2.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,
所以AB//CD,OB=OD,
所以∠OEB=∠OFD.
在△BEO和△DFO中，
{∠OEB=∠OFD,
∠EOB=∠FOD,
OB=OD,
所以△BEO≌△DFO(AAS).
(2)解:四边形BEFC的周长为24.

【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，
∴ $AB// CD$，$OB=OD$，
∴ $∠ OEB=∠ OFD$。
在$△ BEO$和$△ DFO$中，
$\begin{cases}∠ OEB=∠ OFD \\∠ EOB=∠ FOD \\OB=OD\end{cases}$
∴ $△ BEO≌△ DFO$（AAS）。
(2) 解：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AB=CD=10$，$BC=AD=8$，
由(1)知$△ BEO≌△ DFO$，
∴ $BE=DF$，$OE=OF=3$，
∴ $BE+FC=DF+FC=CD=10$，
$EF=OE+OF=6$，
∴ 四边形$BEFC$的周长为$BE+FC+EF+BC=10+6+8=24$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{24}$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质是解题关键。
【难度系数】
0.6