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10. 如果 $ (4x^{2}y - 3xy^{2}) ÷ M = -4x + 3y $，那么单项式 $ M = $
$ -xy $
.答案
10. $ -xy $
解析
【解析】
根据除法各部分间的关系，可得 $ M = (4x^{2}y - 3xy^{2}) ÷ (-4x + 3y) $。
对被除数提取公因式：$ 4x^{2}y - 3xy^{2} = xy(4x - 3y) $，
将除数变形为：$ -4x + 3y = -(4x - 3y) $，
则 $ M = \frac{xy(4x - 3y)}{-(4x - 3y)} = -xy $（$ 4x - 3y ≠ 0 $）。
【答案】
$ -xy $
【知识点】
整式的除法运算、提取公因式法
【点评】
本题考查整式除法的逆运算，解题关键是通过提取公因式分解被除数，结合符号变形进行约分，注意运算过程中符号的处理。
【难度系数】
0.6
根据除法各部分间的关系，可得 $ M = (4x^{2}y - 3xy^{2}) ÷ (-4x + 3y) $。
对被除数提取公因式：$ 4x^{2}y - 3xy^{2} = xy(4x - 3y) $，
将除数变形为：$ -4x + 3y = -(4x - 3y) $，
则 $ M = \frac{xy(4x - 3y)}{-(4x - 3y)} = -xy $（$ 4x - 3y ≠ 0 $）。
【答案】
$ -xy $
【知识点】
整式的除法运算、提取公因式法
【点评】
本题考查整式除法的逆运算，解题关键是通过提取公因式分解被除数，结合符号变形进行约分，注意运算过程中符号的处理。
【难度系数】
0.6
11. 若等式 $ (6a^{3} + 3a^{2}) ÷ (6a) = (a + 1)(a + 2) $ 成立，则 $ a $ 的值为
$ -\frac{4}{5} $
.答案
11. $ -\frac{4}{5} $
解析
【解析】
1. 计算等式左边：
根据多项式除以单项式法则，$(6a^{3} + 3a^{2}) ÷ (6a) = 6a^{3}÷6a + 3a^{2}÷6a = a^{2} + \frac{1}{2}a$；
2. 展开等式右边：
根据多项式乘多项式法则，$(a + 1)(a + 2) = a^{2} + 2a + a + 2 = a^{2} + 3a + 2$；
3. 建立方程并求解：
由等式成立可得：
$a^{2} + \frac{1}{2}a = a^{2} + 3a + 2$，
两边消去$a^{2}$，移项得：
$\frac{1}{2}a - 3a = 2$，
合并同类项：$-\frac{5}{2}a = 2$，
解得：$a = -\frac{4}{5}$。
【答案】
$-\frac{4}{5}$
【知识点】
多项式除以单项式、多项式乘多项式、解一元一次方程
【点评】
本题考查整式的乘除运算与一元一次方程的求解，需熟练掌握整式运算的法则，解方程时注意移项变号与系数化为1的运算细节，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
1. 计算等式左边：
根据多项式除以单项式法则，$(6a^{3} + 3a^{2}) ÷ (6a) = 6a^{3}÷6a + 3a^{2}÷6a = a^{2} + \frac{1}{2}a$；
2. 展开等式右边：
根据多项式乘多项式法则，$(a + 1)(a + 2) = a^{2} + 2a + a + 2 = a^{2} + 3a + 2$；
3. 建立方程并求解：
由等式成立可得：
$a^{2} + \frac{1}{2}a = a^{2} + 3a + 2$，
两边消去$a^{2}$，移项得：
$\frac{1}{2}a - 3a = 2$，
合并同类项：$-\frac{5}{2}a = 2$，
解得：$a = -\frac{4}{5}$。
【答案】
$-\frac{4}{5}$
【知识点】
多项式除以单项式、多项式乘多项式、解一元一次方程
【点评】
本题考查整式的乘除运算与一元一次方程的求解，需熟练掌握整式运算的法则，解方程时注意移项变号与系数化为1的运算细节，避免计算失误。
【难度系数】
0.6
12. 已知 $ 6 - 4x + y = 0 $，则代数式 $ [(x - y)(x + 5y) - (x + 2y)(x - 2y)] ÷ y $ 的值为
$ 6 $
.答案
12. $ 6 $
解析
【解析】
先化简代数式：
$\begin{aligned}&[(x - y)(x + 5y) - (x + 2y)(x - 2y)] ÷ y\\=&[x^2 + 5xy - xy - 5y^2 - (x^2 - 4y^2)] ÷ y\\=&[x^2 + 4xy - 5y^2 - x^2 + 4y^2] ÷ y\\=&(4xy - y^2) ÷ y\\=&4x - y\end{aligned}$
由已知$6 - 4x + y = 0$，整理得$4x - y = 6$，将其代入化简后的式子，得原式的值为$6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
整式混合运算，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的混合运算及整体代入思想，先化简代数式，再结合已知条件转化后的式子代入计算，可简化运算过程。
【难度系数】
0.6
先化简代数式：
$\begin{aligned}&[(x - y)(x + 5y) - (x + 2y)(x - 2y)] ÷ y\\=&[x^2 + 5xy - xy - 5y^2 - (x^2 - 4y^2)] ÷ y\\=&[x^2 + 4xy - 5y^2 - x^2 + 4y^2] ÷ y\\=&(4xy - y^2) ÷ y\\=&4x - y\end{aligned}$
由已知$6 - 4x + y = 0$，整理得$4x - y = 6$，将其代入化简后的式子，得原式的值为$6$。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
整式混合运算，整体代入求值
【点评】
本题考查整式的混合运算及整体代入思想，先化简代数式，再结合已知条件转化后的式子代入计算，可简化运算过程。
【难度系数】
0.6
13. $ (3x^{n + 2} + 6x^{n + 1} - 9x^{n}) ÷ (3x^{n - 1}) = $
$ x^{3} + 2x^{2} - 3x $
.答案
13. $ x^{3} + 2x^{2} - 3x $
解析
【解析】
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加：
1. 计算$3x^{n + 2} ÷ (3x^{n - 1})$：系数相除得$3÷3=1$，同底数幂相除得$x^{(n+2)-(n-1)}=x^3$，结果为$x^3$；
2. 计算$6x^{n + 1} ÷ (3x^{n - 1})$：系数相除得$6÷3=2$，同底数幂相除得$x^{(n+1)-(n-1)}=x^2$，结果为$2x^2$；
3. 计算$-9x^{n} ÷ (3x^{n - 1})$：系数相除得$-9÷3=-3$，同底数幂相除得$x^{n-(n-1)}=x$，结果为$-3x$；
将上述结果相加，得到最终结果。
【答案】
$ x^{3} + 2x^{2} - 3x $
【知识点】
多项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式的除法运算，核心是运用多项式除以单项式的法则拆分计算，同时需熟练掌握同底数幂的除法规则，注意符号与指数的正确运算，属于基础整式运算题型。
【难度系数】
0.8
根据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加：
1. 计算$3x^{n + 2} ÷ (3x^{n - 1})$：系数相除得$3÷3=1$，同底数幂相除得$x^{(n+2)-(n-1)}=x^3$，结果为$x^3$；
2. 计算$6x^{n + 1} ÷ (3x^{n - 1})$：系数相除得$6÷3=2$，同底数幂相除得$x^{(n+1)-(n-1)}=x^2$，结果为$2x^2$；
3. 计算$-9x^{n} ÷ (3x^{n - 1})$：系数相除得$-9÷3=-3$，同底数幂相除得$x^{n-(n-1)}=x$，结果为$-3x$；
将上述结果相加，得到最终结果。
【答案】
$ x^{3} + 2x^{2} - 3x $
【知识点】
多项式除以单项式，同底数幂的除法
【点评】
本题考查整式的除法运算，核心是运用多项式除以单项式的法则拆分计算，同时需熟练掌握同底数幂的除法规则，注意符号与指数的正确运算，属于基础整式运算题型。
【难度系数】
0.8
14. 已知长方体的体积为 $ 3a^{3}b^{5} $（$ cm^{3} $），它的长为 $ ab $（$ cm $），宽为 $ \frac{3}{2}ab^{2} $（$ cm $）. 求：
(1) 这个长方体的高；
(2) 这个长方体的表面积.
(1) 这个长方体的高；
(2) 这个长方体的表面积.
答案
14. (1) $ 2ab^{2}(cm) $ (2) $ 7a^{2}b^{3} + 6a^{2}b^{4}(cm^{2}) $
解析
【解析】
(1) 根据长方体体积公式 $ V = 长×宽×高 $，可得高 = 体积÷长÷宽。
代入数据计算：
$\begin{aligned}高&=3a^{3}b^{5} ÷ ab ÷ \frac{3}{2}ab^{2}\\&=3a^{2}b^{4} ÷ \frac{3}{2}ab^{2}\\&=2ab^{2} \ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
(2) 长方体表面积公式为 $ S = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) $。
先计算各面面积：
长×宽 = $ ab×\frac{3}{2}ab^{2} = \frac{3}{2}a^{2}b^{3} $，
长×高 = $ ab×2ab^{2} = 2a^{2}b^{3} $，
宽×高 = $ \frac{3}{2}ab^{2}×2ab^{2} = 3a^{2}b^{4} $，
代入表面积公式：
$\begin{aligned}S&=2×( \frac{3}{2}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{3} + 3a^{2}b^{4} )\\&=2×( \frac{7}{2}a^{2}b^{3} + 3a^{2}b^{4} )\\&=7a^{2}b^{3} + 6a^{2}b^{4} \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $ 2ab^{2}\ \mathrm{cm} $；(2) $ 7a^{2}b^{3} + 6a^{2}b^{4}\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
长方体的体积与表面积，整式的乘除运算
【点评】
本题考查长方体体积和表面积公式的应用，以及整式乘除运算的掌握，需熟练运用幂的运算法则进行计算。
【难度系数】
0.6
(1) 根据长方体体积公式 $ V = 长×宽×高 $，可得高 = 体积÷长÷宽。
代入数据计算：
$\begin{aligned}高&=3a^{3}b^{5} ÷ ab ÷ \frac{3}{2}ab^{2}\\&=3a^{2}b^{4} ÷ \frac{3}{2}ab^{2}\\&=2ab^{2} \ (\mathrm{cm})\end{aligned}$
(2) 长方体表面积公式为 $ S = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) $。
先计算各面面积：
长×宽 = $ ab×\frac{3}{2}ab^{2} = \frac{3}{2}a^{2}b^{3} $，
长×高 = $ ab×2ab^{2} = 2a^{2}b^{3} $，
宽×高 = $ \frac{3}{2}ab^{2}×2ab^{2} = 3a^{2}b^{4} $，
代入表面积公式：
$\begin{aligned}S&=2×( \frac{3}{2}a^{2}b^{3} + 2a^{2}b^{3} + 3a^{2}b^{4} )\\&=2×( \frac{7}{2}a^{2}b^{3} + 3a^{2}b^{4} )\\&=7a^{2}b^{3} + 6a^{2}b^{4} \ (\mathrm{cm}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $ 2ab^{2}\ \mathrm{cm} $；(2) $ 7a^{2}b^{3} + 6a^{2}b^{4}\ \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
长方体的体积与表面积，整式的乘除运算
【点评】
本题考查长方体体积和表面积公式的应用，以及整式乘除运算的掌握，需熟练运用幂的运算法则进行计算。
【难度系数】
0.6
15. 已知 $ A $ 是一个多项式，单项式 $ B $ 等于 $ 2x $，某同学计算 $ A ÷ B $ 时，把 $ A ÷ B $ 误写成 $ A + B $，结果得出 $ 5x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} $，求 $ A ÷ B $.
答案
15. $ \frac{5}{2}x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1 $
解析
【解析】
首先根据题意，由$A + B = 5x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}$，$B=2x$，可得：
$A = (5x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}) - 2x = 5x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} - 2x$
再计算$A÷ B$，将多项式的每一项分别除以单项式$2x$：
$5x^{4}÷ 2x = \frac{5}{2}x^{3}$，$-4x^{3}÷ 2x = -2x^{2}$，$4x^{2}÷ 2x = 2x$，$-2x÷ 2x = -1$
因此$A÷ B = \frac{5}{2}x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1$。
【答案】
$\frac{5}{2}x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1$
【知识点】
整式加减运算，多项式除以单项式
【点评】
本题考查整式的运算，关键是通过错误计算结果反推求出多项式$A$，再运用多项式除以单项式的运算法则计算，需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.6
首先根据题意，由$A + B = 5x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}$，$B=2x$，可得：
$A = (5x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2}) - 2x = 5x^{4} - 4x^{3} + 4x^{2} - 2x$
再计算$A÷ B$，将多项式的每一项分别除以单项式$2x$：
$5x^{4}÷ 2x = \frac{5}{2}x^{3}$，$-4x^{3}÷ 2x = -2x^{2}$，$4x^{2}÷ 2x = 2x$，$-2x÷ 2x = -1$
因此$A÷ B = \frac{5}{2}x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1$。
【答案】
$\frac{5}{2}x^{3} - 2x^{2} + 2x - 1$
【知识点】
整式加减运算，多项式除以单项式
【点评】
本题考查整式的运算，关键是通过错误计算结果反推求出多项式$A$，再运用多项式除以单项式的运算法则计算，需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.6
