16. 观察下列式子：
$ (x^{2} - 1) ÷ (x - 1) = x + 1 $；
$ (x^{3} - 1) ÷ (x - 1) = x^{2} + x + 1 $；
$ (x^{4} - 1) ÷ (x - 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1 $；
$ (x^{5} - 1) ÷ (x - 1) = x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 $.
(1) 猜想：
$ (x^{7} - 1) ÷ (x - 1) = $；
$ (2^{7} - 1) ÷ (2 - 1) = $.
(2) 计算：$ 1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9} + 2^{10} = $.
(3) 计算：$ 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + 5^{4} + ··· + 5^{2023} $.

16. 解：(1) $ x^{6} + x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x + 1 $ $ 2^{6} + 2^{5} + 2^{4} + 2^{3} + 2^{2} + 2 + 1 $ (2) $ 2^{11} - 1 $ (3) $ \frac{5^{2024} - 1}{4} $

【解析】
(1) 根据给出的式子规律：$(x^n - 1)÷(x - 1)=x^{n-1}+x^{n-2}+…+x+1$，
当$n=7$时，$(x^7 - 1)÷(x - 1)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$；
将$x=2$代入上式，得$(2^7 - 1)÷(2 - 1)=2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1$。
(2) 由规律可知$1+2+2^2+…+2^{10}=(2^{11}-1)÷(2 - 1)=2^{11}-1$。
(3) 利用上述规律，$1+5+5^2+…+5^{2023}=(5^{2024}-1)÷(5 - 1)=\frac{5^{2024}-1}{4}$。
【答案】
(1) $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$；$2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2+1$
(2) $2^{11}-1$
(3) $\frac{5^{2024}-1}{4}$
【知识点】
多项式除法规律；有理数乘方运算
【点评】
本题通过观察多项式除法的式子总结一般性规律，再运用规律解决计算问题，考查归纳推理能力与规律应用能力，关键是准确掌握$(x^n - 1)÷(x - 1)=x^{n-1}+x^{n-2}+…+x+1$这一核心规律。
【难度系数】
0.7