21. (本小题 10 分)如图,在三角形$ABC$中,$AD⊥ BC$于点$D$,点$G$在$AB$上,且$∠ BGD=∠ BAC$,点$E$在直线$AC$上,$EF⊥ BC$交直线$BC$于点$F$.
(1) 当点$E$在线段$AC$的延长线上时,用等式表示$∠ ADG$与$∠ AEF$之间的数量关系,并证明;
(2) 当点$E$在射线$CA$上时,若$∠ ADG=40^{\circ}$,求$∠ AEF$的度数.

(1) ∠ADG=∠AEF；(2) 40°或140°

(1) ∠ADG=∠AEF。证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD//EF（垂直于同一直线的两直线平行）。∵∠BGD=∠BAC，∴GD//AC（同位角相等，两直线平行）。∵GD//AC，∴∠ADG=∠DAC（两直线平行，内错角相等）。∵AD//EF，∴∠DAC=∠AEF（两直线平行，同位角相等）。∴∠ADG=∠AEF。
(2) 当点E在射线CA上时，分两种情况：①E在线段CA上，由(1)知∠AEF=∠ADG=40°；②E在CA延长线上，∵AD//EF，GD//AC，∴∠DAC=∠ADG，∠DAC+∠AEF=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠AEF=180°-∠ADG=140°。综上，∠AEF=40°或140°。

22. (本小题 10 分)如图①,在四边形$ABCD$中,$∠ A=∠ C$,点$E$在边$AB$上,$DE$平分$∠ ADC$,且$∠ ADE=∠ DEA$.
(1) 求证:$AD// BC$;
(2) 如图②,$DF⊥ BC$交边$BC$于点$G$,交边$AB$的延长线于点$F$,且$DB$平分$∠ EDF$.若$∠ BDC=42^{\circ}$,求$∠ F$与$∠ EDF$的度数.

(1)证明见解析；(2)∠F=26°，∠EDF=32°

(1)设∠ADE=∠DEA=x，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠ADE=x，∠ADC=2x。在△ADE中，∠A=180°-∠ADE-∠DEA=180°-2x。∵∠A=∠C，∴∠C=180°-2x。∴∠ADC+∠C=2x+(180°-2x)=180°，∴AD//BC。
(2)∵AD//BC，DF⊥BC，∴DF⊥AD，∠ADF=90°。设∠EDB=∠BDF=y（DB平分∠EDF），则∠EDF=2y。由(1)知∠ADE=x，∠CDE=x，∠ADF=∠ADE+∠EDF=90°，即x+2y=90°。∵∠BDC=42°，∠CDE=∠EDB+∠BDC，∴x=y+42°。联立得：y+42°+2y=90°，解得y=16°。∴∠EDF=2y=32°，x=16°+42°=58°。∠A=180°-2x=64°，在Rt△ADF中，∠F=90°-∠A=26°。