19. (本小题 8 分)如图,$∠ BAC=90^{\circ}$,$DE⊥ AC$于点$H$,$∠ ABD+∠ CED=180^{\circ}$.
(1) 求证:$BD// EC$;
(2) 连接$BE$,若$∠ BDE=30^{\circ}$,且$∠ DBE=∠ ABE+50^{\circ}$,求$∠ CEB$的度数.

(1)证明见解析；(2)100°

(1)∵DE⊥AC，∠BAC=90°，∴∠BAC=∠AHD=90°，∴AB//DE（同位角相等，两直线平行），∴∠ABD=∠BDE（两直线平行，内错角相等）。∵∠ABD+∠CED=180°，∴∠BDE+∠CED=180°，∴BD//EC（同旁内角互补，两直线平行）。
(2)设∠ABE=x，则∠DBE=x+50°。∵AB//DE，∴∠ABE=∠BED=x（两直线平行，内错角相等）。在△BDE中，∠DBE+∠BDE+∠BED=180°，∠BDE=30°，∴(x+50°)+30°+x=180°，解得x=50°。∴∠DBE=50°+50°=100°。∵BD//EC，∴∠CEB=∠DBE=100°（两直线平行，内错角相等）。

20. (本小题 8 分)如图,直线$AB$,$CD$相交于点$O$,过点$O$作$OE⊥ CD$.
(1) 如图①,求证:$∠ BOE-∠ AOC=90^{\circ}$;
(2) 如图②,将射线$OB$沿着直线$CD$翻折得到射线$OF$,即$∠ BOD=∠ FOD$,求证:$OE$平分$∠ AOF$;
(3) 如图③,在(2)的条件下,过点$O$作$OG⊥ AB$,当$∠ FOG:∠ AOE=2:3$时,求$∠ COG$的度数.

112.5°

(1) ∵OE⊥CD，∴∠EOD=90°。
∵AB、CD相交于O，∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
∵∠BOE=∠BOD+∠EOD，∴∠BOE=∠AOC+90°，
∴∠BOE-∠AOC=90°。
(2) ∵OB翻折得OF，∴∠BOD=∠FOD。
∵∠AOC=∠BOD（对顶角相等），∴∠AOC=∠FOD。
∵OE⊥CD，∴∠EOC=∠EOD=90°。
∠AOE=∠EOC-∠AOC=90°-∠AOC，
∠EOF=∠EOD-∠FOD=90°-∠FOD=90°-∠AOC，
∴∠AOE=∠EOF，即OE平分∠AOF。
(3) 设∠AOC=x，则∠BOD=∠FOD=x，∠AOE=90°-x（由(2)得）。
∵OE平分∠AOF，∴∠AOF=2∠AOE=2(90°-x)=180°-2x。
设∠FOG=2k，∠AOE=3k，则2k:3k=2:3，∠AOE=3k=90°-x，∠FOG=2k。
∵OG⊥AB，∴∠AOG=90°。
若OF在OG下方，∠FOG=∠AOG-∠AOF=90°-(180°-2x)=2x-90°=2k，
联立3k=90°-x，解得x=56.25°，∠COG=∠AOC+∠AOG=56.25°+90°=146.25°；
若OF在OG上方，∠FOG=∠AOF-∠AOG=(180°-2x)-90°=90°-2x=2k，
联立3k=90°-x，解得x=22.5°，∠COG=∠AOC+∠AOG=22.5°+90°=112.5°。
结合图形，∠COG=112.5°（或146.25°，根据图形位置，此处取112.5°）。